Bilangan segitiga menghitung benda yang diatur dalam segitiga sama sisi. Angka segitiga adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari bilangan asli , yaitu dari hingga . Urutan angka segitiga (barisan A000217 pada OEIS), mulai dari angka segitiga ke-0, adalah

Enam bilangan segitiga pertama.
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

Wacław Sierpiński mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam perkembangan geometris. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia Kazimierz Szymiczek dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.[1][2]

Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika dan berkorelasi secara Smarandache, maka , dan dengan sebagai fungsi Smarandache.[3]

Bilangan segitiga dinyatakan dengan rumus berikut:  dengan   adalah koefisien binomial, yang menyatakan jumlah pasangan berbeda yang dapat dipilih dari n + 1 objek.

Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan pembuktian induksi.[4] Dimulai dari   yang menghasilkan  . Asumsi untuk suatu bilangan asli  , maka  Sekarang, dengan menambahkan  , maka akan menghasilkan 

Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk  , jika rumus tersebut benar untuk  . Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk  , maka untuk  ,  , dan seterusnya yang merupakan bilangan asli   juga benar melalui induksi.

Referensi

sunting
  1. ^ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
  2. ^ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
  3. ^ A Note on Smarandache Number Related Triangles, Hary Gunarto & AAK Majumdar, Scientia Magna, Volume 6, issue 1, page 1-6, 2010.
  4. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (edisi ke-4). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. hlm. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1. 

Pranala luar

sunting