Bilangan Smith

Halaman artikel ini diterjemahkan, sebagian atau seluruhnya, dari halaman di en.wikipedia yang berjudul « Smith number ». Lihat pula sejarah suntingan halaman aslinya untuk melihat daftar penulisnya.

Sejumlah Smith adalah bilangan komposit yang, dalam basis tertentu (dalam basis 10 secara default), jumlah digit yang sama dengan jumlah dari digit dalam faktorisasi prima.^[1] Misalnya, 378 = 2 × 3 × 3 × 3 × 7 adalah angka Smith sejak 3 + 7 + 8 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7. Dalam definisi ini faktor diperlakukan sebagai angka: misalnya, 22 faktor 2 × 11 dan hasil tiga digit: 2, 1, 1. Oleh karena 22 adalah angka Smith karena 2 + 2 = 2 + 1 + 1.

Yang pertama adalah Smith nomor:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, ... (urutan A006753 di OEIS)

Nomor Smith diberi nama oleh Albert Wilansky dari Lehigh University. Dia melihat properti di nomor telepon (493-7775) dari kakak iparnya Harold Smith:

4937775 = 3 × 5 × 5 × 65.837, sedangkan 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.

Sifat-sifat sunting

W.L. McDaniel pada tahun 1987 membuktikan bahwa ada tak terhingga banyaknya angka Smith.^[2] Jumlah angka Smith bawah 10N untuk n, = 1,2 ... adalah:

1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278.411, 2.632.758, 25.154.060, 241.882.509, ... (urutan A104170 di OEIS)

Dua berturut-turut Smith nomor (misalnya, 728 dan 729, atau 2.964 dan 2.965) disebut Smith bersaudara. Tidak diketahui berapa banyak Smith saudara ada. Unsur-unsur mulai dari tupel n-terkecil Smith untuk n, = 1,2 ... adalah:^[3]

4, 728, 73.615, 4.463.535, 15.966.114, 2050918644, 164.736.913.905, ... (urutan A059754 di OEIS)

Nomor Smith dapat dibangun dari repunits faktor. Jumlah terbesar yang diketahui Smith pada 2010 adalah:

9 × R₁₀₃₁ × (10^4.594 + 3 × 10^2.297 + 1) 1476 × 10^3.913.210

mana R₁₀₃₁ adalah repunit sama dengan (10^1.031-1) / 9.

Daftar Pustaka sunting

^ Dalam hal nomor yang tidak bebas persegi, faktorisasi ditulis tanpa eksponen, menulis faktor diulangi sebanyak yang diperlukan.
^ McDaniel, Wayne (1987). "The existence of infinitely many k-Smith numbers". Fibonacci Quarterly. 25 (1): 76–80.
^ Shyam Sunder Gupta. "Fascinating Smith Numbers".

Catatan lain sunting

Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. hlm. 299–300.

[1] Dalam hal nomor yang tidak bebas persegi, faktorisasi ditulis tanpa eksponen, menulis faktor diulangi sebanyak yang diperlukan.

[2] McDaniel, Wayne (1987). "The existence of infinitely many k-Smith numbers". Fibonacci Quarterly. 25 (1): 76–80.

[3] Shyam Sunder Gupta. "Fascinating Smith Numbers".

[1]

[2]

[3]