Topologi operator lemah

topologi lemah pada ruang fungsi

Dalam analisis fungsional, topologi operator lemah, sering disingkat TOL, adalah topologi lemah pada himpunan operator terbatas pada ruang Hilbert , maka fungsi operator ke bilangan kompleks adalah kontinu untuk vektor suatu dan di ruang Hilbert.

Secara eksplisit, untuk operator ada basis lingkungan dari tipe berikut: jumlah hingga vektor , fungsional kontinu , dan tetapan riil positif diindeks oleh himpunan hingga . Operator terletak di lingkungan jika dan hanya jika untuk .

Sama halnya, jaring dari operator ke pada TOL jika untuk dan , jaring menyatu dengan .

Relasi dengan topologi lain di B(H)

sunting

TOL adalah di antara semua topologi pada  , operator terikat pada ruang Hilbert  .

Topologi operator kekuatan

sunting

Topologi operator kekuatan, atau SOT, di   adalah topologi konvergensi pointwise. Karena produk dalam adalah fungsi kontinu, TOK lebih kuat dari TOL. Contoh berikut menunjukkan bahwa penyertaan ini ketat. Maka   dan pertimbangkan urutan  . Penerapan Cauchy-Schwarz menunjukkan bahwa   dalam TOL. Tapi yang jelas   tidak menyatu dengan   dalam TOK.

Fungsional linier pada himpunan operator yang dibatasi pada ruang Hilbert yang kontinu dalam topologi operator yang kuat adalah kontinu TOK (sebenarnya, TOL adalah topologi operator lemah semua fungsi linear kontinu pada himpunan   dari operator yang dibatasi pada ruang Hilbert H). Karena fakta ini, penutupan sebuah himpunan konveks dari operator di TOK sama dengan penutupan himpunan tersebut di TOL.

dari identitas polarisasi maka   dengan   pada TOL jika dan hanya jika   dalam TOK.

Topologi bintang operator lemah

sunting

Predual dari B(H) adalah kelas jejak operator C1(H), dan itu menghasilkan topologi-w* pada B(H), disebut topologi operator bintang lemah atau topologi σ. Topologi operator-lemah dan σ pada himpunan berbatas norma pada B(H).

Jaring {Tα} ⊂ B(H) konvergen ke T pada TOL jika dan hanya Tr(TαF) konvergen ke Tr(TF) untuk semua operator peringkat terbatas F . Karena setiap operator peringkat-hingga adalah kelas-jejak. Untuk melihat mengapa klaim itu benar, ingatlah bahwa setiap operator peringkat terbatas F adalah jumlah hingga

 

Jadi {Tα} konvergen ke T dalam arti TOL

 

Memperluas, dapat dikatakan bahwa topologi operator-lemah dan σ pada himpunan hingga norma dalam B ( H ): Setiap operator kelas jejak adalah dalam bentuk

 

dimana deret  . Maka   dan   terdapat pada TOL. Untuk setiap kelas jejak S ,

 

dengan menggunakan, misalnya, teorema konvergensi dominasi.

Maka, himpunan yang dibatasi norma menjadi kompak dalam TOL, dengan Teorema Banach–Alaoglu.

Sifat lainnya

sunting

Operasi adjoin T T* , sebagai konsekuensi langsung dari definisinya, adalah kontinu dalam TOL.

Perkalian tidak kontinu dalam TOL: maka   menjadi pergeseran sepihak. Jika Cauchy-Schwarz, salah satunya memiliki keduanya Tn dan T*n konvergen ke 0 dalam TOL. Maka T*nTn adalah operator identitas untuk semua  . (Karena WOT bertepatan dengan topologi σ-weak pada himpunan terbatas, perkalian tidak terus menerus secara bersama-sama dalam topologi-σ.)

Namun, klaim yang lebih lemah dapat dibuat: perkalian secara terpisah terus menerus dalam TOL. Jika jaring TiT pada TOL, maka STiST dan TiSTS dalam TOL.

TOK dan TOL pada B(X,Y) ketika X dan Y adalah ruang bernorma

sunting

Kita dapat memperluas definisi TOK dan TOL ke pengaturan yang lebih umum di mana X dan Y adalah ruang bernorma dan   adalah ruang operator linear berbatas dari formulir  . Dalam hal ini, pada   and   mendefinisikan sebuah seminorma   on   via the rule  . Grup seminorma yang dihasilkan menghasilkan topologi operator lemah pada  . Sama halnya, TOL pada   dibentuk dengan mengambil lingkungan terbuka dasar himpunan formulir tersebut

 

dimana   adalah himpunan hingga,   juga merupakan himpunan hingga, dan  . Ruang   adalah ruang vektor topologi konveks lokal bila diberkahi dengan TOL.

Topologi operator kuat pada   dihasilkan oleh grup seminorma   via the rules  . Jadi, basis topologi untuk TOK diberikan oleh lingkungan terbuka dari formulir

 

dimana sebelumnya   adalah himpunan hingga, dan  

Lihat pula

sunting

Templat:Analisis Fungsional Templat:DualityInLCTVSs