Terompet Jibril

Terompet Jibril (bahasa Inggris: Gabriel's horn) atau juga disebut terompet Torricelli adalah jenis benda geometris yang memiliki luas permukaan yang tak terhingga, tetapi volumenya terhingga (terbatas), Nama dari terompet itu merujuk kepada tradisi Kristen, yakni terompet yang ditiup oleh malaikat Gabriel untuk mengumumkan Hari Penghakiman. Sifat-sifat terompet ini pertama kali dikaji oleh seorang fisikawan sekaligus matematikawan berkebangsaan Italia yang bernama Evangelista Torricelli pada abad ke-17.

Definisi matematis

Ilustrasi terompet Jibril dalam bentuk 3D

Terompet Jibril terbentuk dengan menggambarkan grafik fungsi

$$y={\frac {1}{x}},$$

dengan domain $x\geq 1$ dan kemudian berputar di sumbu-$x$. Terompet ini ditemukan dengan menggunakan prinsip Cavalieri, tetapi karena adanya penemuan kalkulus, sifat-sifat pengukuran seperti volume dan luas permukaannya di antara $x=1$ dan $x=a$ (dengan $a>1$) dapat dihitung. Menggunakan pengintegralan, volume $V$ dan luas permukaan $A$ dari suatu terompet Jibril dapat dinyatakan sebagai:

$${\begin{aligned}V&=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),\\A&=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.\end{aligned}}$$

Nilai $a$ dapat bernilai besar. Jika dilihat dari persamaan volumenya di antara $x=1$ dan $x=a$, hasilnya tidak pernah mencapai $\pi$. Akan tetapi, hasilnya secara perlahan-lahan mendekati $\pi$ ketika $a$ semakin naik. Secara matematis, volumenya mendekati $\pi$ saat $a$ mendekati tak terhingga. Dengan menggunakan notasi limit,

$$\lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .$$

Rumus luas permukaan di atas memberikan batas bawah untuk luas yang dinyatakan sebagai $2\pi$ dikali dengan logaritma alami dari $a$, tetapi logaritma dari $a$ tidak memiliki batas atas saat $a$ mendekati tak terhingga. Karena itu, terompet Jibril memiliki luas permukaan yang tak terhingga. Lagi-lagi, dengan menggunakan notasi limit,

$$\lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .$$

Referensi

• Fleron, Julian F. (1999). "Gabriel's Wedding Cake". The College Mathematics Journal. 30 (1): 35–38. doi:10.2307/2687201. JSTOR 2687201. 
• Havil, Julian (2007). Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12056-0. 
• Varberg, Dale E.; Purcell, ‎Edwin Joseph; Rigdon, ‎Steven E. (2007). Calculus (edisi ke-9). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-1469-68-1.