Polinomial Hermite

Polinomial Hermite dalam matematika merupakan polinomial ortogonal klasik.

Polinomial Hermite muncul di:

  • Pemrosesan sinyal sebagai wavelet Hermitian untuk analisis transformasi wavelet.
  • Probabilitas, seperti deret Edgeworth, serta sehubungan dengan gerak Brown;
  • Kombinatorik, sebagai contoh deret Appell, yang mematuhi kalkulus umbral;
  • Analisis numerik sebagai kuadratur Gaussian;
  • Fisika, di mana mereka memunculkan keadaan eigen dari osilator harmonik kuantum; dan mereka juga terjadi dalam beberapa kasus persamaan distribusi panas (heat equation)
  • Teori sistem sehubungan dengan operasi nonlinier pada noise Gaussian.
  • Teori matriks acak dalam ansambel Gaussian.

Biografi

sunting

Charles Hermite (1822-1901) adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika. Namun, sendiri, ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss. Dia diterima di cole Polytechnique. Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer, membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik.

Hermite telah banyak berjasa, terutama dalam fungsi Abelian. Tidak hanya itu, Hermite kerap membantu banyak matematikawan muda lainnya, seperti kontribusinya dalam menunjukkan mengenai bilangan transendental yang menjadi solusi persamaan polinomial terbatas. Dirinya sering dikenal sebagai tokoh utama dalam pengembangan teori bentuk aljabar, teori aritmatika bentuk kuadrat, dan bahkan hingga fungsi elips dan Abelian.

Pada tahun 1848, Hermite menyiapkan dirinya untuk gelar sarjana sains dan disaat yang bersamaan mengajar di Cole Polytechnique, Paris. Dan pada tahun 1869, Hermite diangkat sebagai Profesor di Cole Normale, Paris, serta diangkat dalam posisi yang lebih tinggi lagi di tahun 1870.

Definisi

sunting

Persamaan Diferensial

sunting

Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial

 

Penyelesaiannya diberikan secara unik dalam bentuk polinomial Hermite dalam bentuk

 

dengan   menunjukkan suatu konstanta setelah menerapkan kondisi batas bahwa   harus dibatasi secara polinomial di tak hingga.

Persamaan diferensial lain yang solusinya dapat dituliskan dalam bentuk polinomial Hermite adalah :

 

Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah

 

Dalam beberapa sumber lain,   dituliskan dengan variabel  , dan   dituliskan dengan  . Baik   atau  , keduanya sama-sama merupakan fungsi  , dan   atau   merupakan bilangan cacah.

Persamaan Rodrigues

sunting

Persamaan Rodrigues untuk Polinomial Hermite adalah :

 

Berikut beberapa Polinomial Hermite pertama :

 
 
 
 
 
 
 
 

Fungsi Pembangkit

sunting

Fungsi pembangkit untuk Polinomial Hermite adalah :

 

Fungsi pembangkit tersebut dapat diuraikan menjadi

 

Ingat bahwa

 

Sehingga diperoleh

 

Visualisasi

sunting

Plot beberapa Polinomial Hermite pertama   :

 
Plot Beberapa Polinomial Hermite Pertama

Plot bagian riil dari  :

 
Plot Bagian Riil dari  

Plot bagian imajiner dari  :

 
Plot Bagian Imajiner dari  

Ortogonalitas

sunting

Dalam matematika , ortogonalitas adalah generalisasi dari gagasan geometris tentang tegak lurus . Dengan ekstensi, ortogonalitas juga digunakan untuk merujuk pada pemisahan fitur khusus dari suatu sistem. Istilah ini juga memiliki arti khusus di bidang lain termasuk seni dan kimia.

  dan   adalah polinomial derajat ke-n untuk n = 0, 1, 2, 3,.... Polinomial ini ortogonal terhadap fungsi bobot / pemberat

 

Secara umum, berlaku ortogonalitas

 

di mana   adalah delta Kronecker

Dengan demikian polinomial probabilis ortogonal terhadap fungsi kerapatan probabilitas normal standar.

Sifat Rekursif

sunting

Sifat rekursif dari Polinomial Hermite adalah

 
 

Persamaan ini didapat dapat diturunkan menggunakan fungsi pembangkit.

Fenomena Kuantum

sunting

Operator Hamiltonian, operator mekanika kuantum umum untuk energi, mencakup operator energi kinetik,  , dan operator energi potensial,  

 

Persamaan energi total pada osilator harmonis mencakup energi kinetik dan energi potensial harmonik. Sehingga persamaan Schrodinger independen waktu bisa ditulis sebagai berikut

 
Fungsi Gelombang   untuk n = 0 sampai n = 8
 

Untuk suatu osilator sederhana   diberikan oleh,

 

Sehingga persamaan Schrodinger menjadi

 

Misal suatu variable   yang didefinisikan sebagai berikut

 

Sekarang kita tahu bahwa   adalah fungsi   di mana   sendiri adalah fungsi  

 
Fungsi Densitas Probabilitas   untuk n = 0 sampai n = 7
 
 
 
 

Substitusi kedalam persamaan differensial sebelumnya

 

  dapat dinyatakan sebagai

 

Definisikan

 

Ketika   jauh lebih besar dari  ,

 
 

Supaya bisa ternormalisasi maka dipastikan   supaya solusi   tidak terus bertambah besar secara eksponensial ketika   menuju tak hingga,

 

Tinjau suatu kasus di mana koefisien   bukanlah konstanta melainkan sebuah fungsi dependen  ,

 
 
 
 

Substitusi kembali

 

Sehingga diperoleh

 

Persamaan differensial diatas tidak lain adalah bentuk lain persamaan differensial Hermite di mana solusinya adalah polinomial Hermite. Dengan membandingkan koefisien persamaan di atas dengan persamaan diferensial Hermite,

 
 

Persamaan di atas menunjukkan bahwa energi terkuantisasi atau hanya dapat memiliki nilai tertentu. Yang menarik adalah energy ground state yang tidak nol yang tidak intuitif jika dilihat dari perspektif fisika klasik.

 

Sedangkan solusi persamaan differensial diatas menjadi,

 
 

Dari ortogonalitas polinomial Hermite,

 

  sebagai fungsi  ,

 

Referensi

sunting