Persamaan beda rasional

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk[1][2][3][4]

dimana kondisi awal sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertamaSunting

Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

 

Bila   dan kondisi awal   adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.[3]

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis   sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain   yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada  .

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.[5][6]

Memecahkan persamaan urutan pertamaSunting

Pendekatan pertamaSunting

Pendekatan pertama[7] untuk mengembangkan variabel yang diubah  , ketika   ditulis sebagai

 

dimana   dan   dan dimana  .

Penulisan lebih lanjut   ditampilkan sebagai hasil

 

Pendekatan keduaSunting

Pendekatan ini[8] diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk   alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana   bukanlah negatif. Tulis sebagai   diimplikasikan  , dimana   yang diberikan oleh   dan dimana  . Maka dapat ditunjukkan bahwa   dievolusikan sebagai

 

Pendekatan ketigaSunting

Persamaan

 

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

 

dimana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah[9]

 

dimana

 

AplikasiSunting

Hal ini ditunjukkan[10] bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

 

yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

ReferensiSunting

  1. ^ Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−–218, eqns (41,42)
  2. ^ Camouzis, Elias; Ladas, G. (November 16, 2007). Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781584887669 – via Google Books. 
  3. ^ a b Kulenovic, Mustafa R. S.; Ladas, G. (July 30, 2001). Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781420035384 – via Google Books. 
  4. ^ Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.
  5. ^ "Equivalent resistance in ladder circuit". Stack Exchange. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  6. ^ "Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!". Youtube. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  7. ^ Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online
  8. ^ Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.
  9. ^ Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.
  10. ^ Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.