Limit sepihak

Dalam kalkulus, limit sepihak adalah limit yang mengacu pada dua limit fungsi $f(x)$ dari variabel bilangan real $x$, ketika $x$ mendekati titik tertentu baik dari kiri atau dari kanan.

Fungsi $f(x)=x^{2}+\operatorname {sgn}(x)$ (dengan sgn merupakan fungsi signum atau fungsi tanda) yang mempunyai limit kiri dari $-1$, limit kanan dari $+1$, dan sebuah nilai fungsi dari $0$ di titik $x=0$.

Limit sebagai $x$ menurun di nilai yang mendekati $a$ ($x$ mendekati $a$ "dari kanan" atau "dari atas") dapat dilambangkan:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)$ atau $\lim _{x\downarrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x\searrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)$

Limit dari $x$ menaik di nilai yang mendekati $a$ ($x$ mendekati $a$ "dari kiri" atau "dari bawah") dapat dilambangkan:

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)$ atau $\lim _{x\uparrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x\nearrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)$

jika limit $f(x)$ ketika $x$ mendekati $a$ ada, maka limi dari sebelah kiri dan dari sebelah kanan juga ada. Pada beberapa kasus, dua limit sepihak tetap ada jika limit $\lim _{x\to a}f(x)\,$tidak ada. Akibatnya, limit dari nilai $x$ mendekati pada nilai $a$ terkadang disebut "dua sisi limit".

Definisi

Pada beberapa kasus, salah satu dari dua limit sepihak ada dan yang lainnya tidak, dan dalam beberapa kasus tidak ada. Limit sebelah kanan dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$,

dan limit sebelah kiri dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$,

dengan $I$ mewakili suatu selang yang ada di ranah pada nilai $f$.

Hubungan dengan definisi topologis limit

Limit sepihak ke sebuah titik $p$ berpadanan dengan definisi limit umum, dengan ranah fungsi terbatas ke satu sisi, dengan memungkinkan bahwa ranah fungsinya adalah himpunan bagian dari ruang topologis, atau dengan menganggap sebuah subruang sepihak, termasuk $p$. Secara bergantian, salah satunya dapat menganggap ranahnya dengan sebuah topologi selang setengah terbuka..

Lihat pula

• Garis real diperluas dengan projektif
• Semi-keterdiferensialan
• Limit atas dan limit bawah