Integral tak tentu: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Penggunaan: teorema dasar kalkulus; pindah struktur |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Penerapan: + |
||
Baris 10:
[[Berkas:Slope Field.png|jmpl|200px|Antiderivatif]]Sebagai contoh, <math>F(x) = \tfrac{x^3}{3}</math> adalah antiturunan dari fungsi <math>f(x) = x^2</math>, sebab turunan dari <math>\tfrac{x^3}{3}</math> adalah <math>x^2</math> serta turunan dari [[Fungsi konstan|konstanta]] adalah nol. Ketika mencari integral tak tentu dari <math>x^2</math>, maka akan ada banyak tak berhingga banyaknya antiturunan, seperti <math>\tfrac{x^3}{3}, \tfrac{x^3}{3}+1, \tfrac{x^3}{3}-2</math>, dst. Dengan demikian, semua integral tak tentu dari <math>x^2</math> dapat diperoleh dengan mengubah nilai {{math|''c''}} di <math>F(x) = \tfrac{x^3}{3}+c</math>, dengan {{math|''c''}} menyatakan sebarang [[Konstanta integrasi|konstanta]]. Grafik antiturunan dari fungsi tersebut dapat digeser secara vertikal, tergantung nilai konstantanya. Hal ini juga berlaku untuk fungsi yang lebih umum, yaitu [[fungsi pangkat]] <math>f(x) = x^n</math>, yang mempunyai antiturunan <math>F(x) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + c</math> jika {{math|''n'' ≠ −1}}, dan <math>F(x) = \ln |x| + c</math> if {{math|1=''n'' = −1}}.
== Penerapan dan sifat ==
{{Main|Teorema dasar kalkulus}}
Antiturunan dipakai untuk menghitung [[integral tentu]], dengan menggunakan [[teorema dasar kalkulus]]: bila fungsi <math>F</math> adalah antiturunan dari fungsi [[Integral Riemann|terintegralkan]] <math>f</math> di interval <math>[a,b]</math>, maka:<math display="block">\int_a^b f(x) \, .dx = F(b) - F(a).</math>Oleh karena itu, setiap antiturunan (yang tak berhingga banyaknya) dari fungsi <math>f</math> dapat disebut sebagai "integral tak tentu" dari <math>f</math>, dan antiturunan tersebut ditulis menggunakan simbol integral tanpa adanya batas.<math display="block">\int f(x)\,dx.</math>
Terdapat rumus lain dalam teorema dasar kalkulus. Setiap fungsi kontinu <math>f</math> memiliki antiturunan, dan antiturunan {{math|''F''}} dirumuskan sebagai integral tak tentu dari <math>f</math> dengan batas atas variabel:<math display="block">F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.</math>
Terdapat banyak fungsi yang antiturunannya tidak dapat dinyatakan dalam [[fungsi elementer]], seperti [[Polinomial|fungsi polinomial]], [[fungsi eksponensial]], [[fungsi logaritma]], [[fungsi trigonometri]], [[fungsi invers trigonometri]], dan juga gabungan fungsi-fungsi lain. Fungsi-fungsi yang dijelaskan tadi adalah [[fungsi galat]], [[fungsi Fresnel]], [[fungsi integral sinus]], [[fungsi integral logaritmik]], dan [[fungsi mimpi Sophomore]].
== Tabel integral ==
| |||