Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Pangkat dua|basis 2]],}}}}

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis {{sfrac|1|2}}.}}}}

 

'''Eksponensiasi''' adalah sebuah [[Operasi (matematika)|operasi matematika]], ditulis sebagai <math>b^n</math>, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok <math>b</math> dan eksponen atau pangkat <math>n</math>, diucapkan sebagai "<math>b</math> pangkat <math>n</math>".<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-27|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=Basic rules for exponentiation|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=Agustus 27, 2020|website=Math Insight}}</ref>. Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] positif, eksponensiasi adalah [[perkalian]] berulang dari basis: yaitu, <math>b^n</math> adalah [[Darab (matematika)|darab]] dari mengalikan basis <math>n</math>:<ref name=":1" />

:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>

 

pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan dengan [[rumus binomial]]

:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>

|}

 

===={{anchor|Basis 10}}Pangkat sepuluh====

{{see also|Notasi ilmiah}}

pangkat bilangan bulat {{math|2}} penting dalam [[ilmu komputer]]. Bilangan bulat positif pangkat {{math|2^''n''}} memberikan jumlah bilangan untuk [[bit]] {{math|''n''}} bilangan bulat [[bilangan biner]]; misalnya, [[bita]] mengambil nilai {{math|1=2⁸ = 256}} yang berbeda. [[Sistem bilangan biner]] menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat {{math|2}}, dan menyatakannya sebagai urutan {{math|0}} dan {{math|1}}, dipisahkan oleh [[titik biner]], dimana {{math|1}} menunjukkan pangkat {{math|2}} yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat {{math|1}} ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat {{math|1}} sebelah kiri titik (mulai dari {{math|0}}), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.

 

 

Jika eksponen {{mvar|n}} positif ({{math|''n'' > 0}}), pangkat ke-{{mvar|n}} dari nol adalah nol: {{math|1=0^''n'' = 0}}.

 

Ekspresi {{math|0⁰}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (''lihat [[Nol pangkat nol]]'').

 

Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)^''n'' = 1}}.

 

Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

 

Definisi {{math|''e''^''x''}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''^''x''}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''^''x''}} maka ia memiliki

: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>

:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>

 

 

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.

{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''^''x'' (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}

 

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi pangkat]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>