Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 34:
Di sini, ''B'' diperoleh dari ''A'' dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris kedua, sehingga {{nowrap|1=det(''A'') = det(''B'')}}. ''C'' diperoleh dari ''B'' dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga {{nowrap|1=det(''C'') = det(''B'')}}. Sementara itu, ''D'' didapat dari ''C'' dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga {{nowrap|1=det(''D'') = −det(''C'')}}. Determinan matriks segitiga ''D'' merupakan hasil dari perkalian [[diagonal utama]]nya: {{nowrap|1=(−2) · 2 · 4.5 = −18}}. Maka dari itu, {{nowrap|1=det(''A'') = −det(''D'') = +18}}.
== Arti geometris ==
Jika {{nowrap|''n'' × ''n''}} [[Bilangan riil|riil]] matriks ''A'' ditulis dalam bentuk vektor kolomnya <math>A = [\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}]</math>, then
:<math>
A\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_1, \quad
A\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_2, \quad
\ldots, \quad
A\begin{pmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\1\end{pmatrix} = \mathbf{a}_n.
</math>
Ini berarti <math> A </math> memetakan unit [[Hiperkubus|''n''-kubus]] ke ''n''-dimensi [[parallepiped#Parallelotop| parallelotop]] yang ditentukan oleh vektor <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n,</math> the region <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i\right\}.</math>
Determinan memberikan volume dimensi [[orientasi (ruang vektor)|bertanda]] '' n '' dari paralelotop ini, <math>\det(A) = \pm \text{vol}(P),</math> dan karenanya menjelaskan secara lebih umum faktor skala volume dimensi '' 'n' 'dari [[transformasi linear]] yang dihasilkan oleh ''A''.<ref>{{cite web|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|title=Determinants and Volumes|author=|date=|website=textbooks.math.gatech.edu|accessdate=16 March 2018}}</ref> (Tanda tersebut menunjukkan apakah transformasi mempertahankan atau membalikkan [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]].) Secara khusus, jika determinannya nol, maka paralelotop ini memiliki volume nol dan tidak sepenuhnya berdimensi '' n '', yang menunjukkan bahwa dimensi bayangan '' A '' lebih kecil dari ''n''. Ini [[Teorema peringkat-nulitas | berarti]] bahwa '' A '' menghasilkan transformasi linier yang bukan [[fungsi konjektur|ke]] atau [[Fungsi injektif|satu-ke-satu]], dan begitu juga bukan bisa dibalik.
== Definisi ==
Ada berbagai cara yang setara untuk menentukan determinan dari [[matriks persegi]] '' A '', yaitu satu dengan jumlah baris dan kolom yang sama. Mungkin cara termudah untuk menyatakan determinan adalah dengan mempertimbangkan elemen di baris atas dan masing-masing [[minor (aljabar linear)|minor]]; mulai dari kiri, kalikan elemen dengan minor, lalu kurangi hasil kali elemen berikutnya dan minornya, dan secara bergantian menambah dan mengurangi produk tersebut sampai semua elemen di baris atas habis. Sebagai contoh, berikut adalah hasil untuk matriks 4 × 4:
:<math>
\begin{vmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & o & p \end{vmatrix} =
a\,\begin{vmatrix} f & g & h\\ j & k & l\\ n & o & p \end{vmatrix} -
b\,\begin{vmatrix} e & g & h\\ i & k & l\\ m & o & p \end{vmatrix} +
c\,\begin{vmatrix} e & f & h\\ i & j & l\\ m & n & p \end{vmatrix} -
d\,\begin{vmatrix} e & f & g\\ i & j & k\\ m & n & o \end{vmatrix}.
</math>
Cara lain untuk menentukan determinan dinyatakan dalam kolom-kolom matriks. Jika kita menulis berkas {{nowrap|''n'' × ''n''}} matriks '' A '' dalam hal vektor kolomnya
: <math>A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}</math>
dimana <math>a_j</math> adalah vektor dengan ukuran '' n '', maka determinan dari '' A '' didefinisikan sehingga
:<math>\begin{align}
\det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & b a_j + c v & \cdots & a_n \end{bmatrix}
&= b\det(A) + c \det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & v & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\
\det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_j & a_{j+1} & \cdots & a_n \end{bmatrix}
&= -\det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_{j+1} & a_j & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\
\det(I) &= 1
\end{align}</math>
di mana '' b '' dan '' c '' adalah skalar, '' v '' adalah sembarang vektor berukuran '' n '' dan '' I '' adalah [[matriks identitas]] berukuran '' n ' '. Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya. Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, [[gelanggang komutatif]]), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik. <ref> [[Serge Lang]], '' Linear Algebra '', 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.</ref>
Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku '' n '' dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah [[ekspresi polinomial]] dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matriks memiliki [[Faktorial|''n''!]] istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus {{nowrap|2 × 2}} matriks dan matriks {{nowrap|3 × 3}}, diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.
Asumsikan '' A '' adalah matriks persegi dengan baris '' n '' dan kolom '' n '', sehingga dapat ditulis sebagai
:<math>A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}
\end{bmatrix}.</math>
Entri dapat berupa angka atau ekspresi (seperti yang terjadi ketika determinan digunakan untuk mendefinisikan [[karakteristik polinomial]]); definisi determinan hanya bergantung pada fakta bahwa mereka dapat ditambahkan dan dikalikan bersama dengan cara [[Komutatif | komutatif]].
Determinan dari '' A '' dilambangkan dengan det(''A''), atau dapat dilambangkan secara langsung dalam istilah entri matriks dengan menulis batang penutup, bukan tanda kurung:
:<math>\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}
\end{vmatrix}.</math>
== Matriks 2x2 ==
[[Berkas:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Luas jajaran genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor yang merepresentasikan sisi jajaran genjang.]]
[[Rumus Leibniz untuk determinan | Rumus Leibniz]] untuk determinan a {{nowrap|2 × 2}} matriks adalah
:<math>\begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.</math>
Jika entri matriks adalah bilangan real, matriks {{math | A}} dapat digunakan untuk merepresentasikan dua [[peta linear]]: yang memetakan vektor [[standar dasar]] ke baris {{math|A}}, dan yang memetakannya ke kolom {{math|A}}. Dalam kedua kasus tersebut, gambar vektor basis membentuk [[jajaran genjang]] yang mewakili gambar [[satuan persegi]] di bawah pemetaan. Jajar genjang yang ditentukan oleh baris dari matriks di atas adalah yang memiliki simpul di {{math|{{nowrap|(0, 0)}},}} {{math|{{nowrap|(''a'', ''b'')}},}} {{math|{{nowrap|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}},}} dan {{math|{{nowrap|(''c'', ''d'')}},}} seperti yang ditunjukkan pada diagram terlampir.
<!--
The absolute value of {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}} }} is the area of the parallelogram, and thus represents the scale factor by which areas are transformed by {{math|A}}. (The parallelogram formed by the columns of {{math|A}} is in general a different parallelogram, but since the determinant is symmetric with respect to rows and columns, the area will be the same.)
The absolute value of the determinant together with the sign becomes the ''oriented area'' of the parallelogram. The oriented area is the same as the usual [[area (geometry)|area]], except that it is negative when the angle from the first to the second vector defining the parallelogram turns in a clockwise direction (which is opposite to the direction one would get for the [[identity matrix]]).
To show that {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}}} is the signed area, one may consider a matrix containing two vectors {{math|{{nowrap|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}}}} and {{math|{{nowrap|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}}} representing the parallelogram's sides. The signed area can be expressed as {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}}} for the angle ''θ'' between the vectors, which is simply base times height, the length of one vector times the perpendicular component of the other. Due to the [[sine]] this already is the signed area, yet it may be expressed more conveniently using the [[cosine]] of the complementary angle to a perpendicular vector, e.g. {{math|{{nowrap|'''u'''<sup>⊥</sup> {{=}} (−''b'', ''a'')}},}} so that {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ′''}},}} which can be determined by the pattern of the [[scalar product]] to be equal to {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}:}}
: <math>\text{Signed area} =
|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|\,\sin\,\theta = \left|\boldsymbol{u}^\perp\right|\,\left|\boldsymbol{v}\right|\,\cos\,\theta' =
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc.
</math>
Thus the determinant gives the scaling factor and the orientation induced by the mapping represented by ''A''. When the determinant is equal to one, the linear mapping defined by the matrix is [[Equiareal map|equi-areal]] and orientation-preserving.
The object known as the ''[[bivector]]'' is related to these ideas. In 2D, it can be interpreted as an ''oriented plane segment'' formed by imagining two vectors each with origin {{math|{{nowrap|(0, 0)}},}} and coordinates {{math|{{nowrap|(''a'', ''b'')}}}} and {{math|{{nowrap|(''c'', ''d'')}}.}} The bivector magnitude (denoted by {{math|{{nowrap|(''a'', ''b'') ∧ (''c'', ''d'')}})}} is the ''signed area'', which is also the determinant {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}.}}<ref>{{cite media |url=https://www.youtube.com/watch?v=6XghF70fqkY |series=WildLinAlg |title=Episode 4 |first=Norman J. |last=Wildberger |publisher=[[University of New South Wales]] |place=Sydney, Australia |year=2010 |medium=video lecture |via=YouTube}}</ref>
-->
=== Matriks 3×3 ===
[[Berkas:Determinant parallelepiped.svg|300px|right|thumb| Volume [[parallelepiped]] ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom yang dibangun dari vektor r1, r2, dan r3.]]
=== Rumus Laplace ===
[[Ekspansi Laplace | Rumus Laplace]] untuk determinan a {{nowrap|3 × 3}} matriks adalah
:<math>
\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} =
a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}
</math>
ini dapat diperluas untuk memberikan rumus Leibniz.
=== Rumus Leibniz ===
[[Rumus Leibniz untuk determinan | Rumus Leibniz]] untuk determinan a {{nowrap|3 × 3}} matriks:
:<math>\begin{align}
\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}
&= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \\
&= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
\end{align}</math>
<!--
=== Sarrus' scheme ===
The [[rule of Sarrus]] is a mnemonic for the {{nowrap|3 × 3}} matrix determinant: the sum of the products of three diagonal north-west to south-east lines of matrix elements, minus the sum of the products of three diagonal south-west to north-east lines of elements, when the copies of the first two columns of the matrix are written beside it as in the illustration:
<p style="padding:0;font-size:100%;">
<span style="background:#FFF;color:#000;">
<math>\begin{align}
~~~~~~\begin{vmatrix} a & b & c \\ e & f & g \\ h & i & j \end{vmatrix} =
\end{align}</math>
[[File:Sarrus ABC red blue solid dashed.svg|200px]]
<math>\qquad= \color{red}{ afj + bgh + cei}\color{blue}{- hfc - iga- jeb}</math>
</span></p>
This scheme for calculating the determinant of a {{nowrap|3 × 3}} matrix does not carry over into higher dimensions.
-->
=== Maktris {{nowrap|n}}×{{nowrap|n}} ===
Penentu matriks dengan ukuran sembarang dapat ditentukan dengan [[rumus Leibniz determinan | rumus Leibniz]] atau [[Ekspansi Laplace | rumus Laplace]].
Rumus Leibniz untuk determinan dari sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matrix ''A'' is
:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}\right).</math>
Di sini jumlah dihitung atas semua [[permutasi]] s '' σ '' dari himpunan {{nowrap|{1, 2, ..., ''n''}.}} Permutasi adalah fungsi yang menyusun ulang kumpulan bilangan bulat ini. Nilai pada posisi '' i''th setelah penyusunan ulang '' σ '' dilambangkan dengan ''σ''<sub>''i''</sub>. Misalnya untuk {{nowrap|1=''n'' = 3}}, urutan asli 1, 2, 3 mungkin diurutkan ulang menjadi {{nowrap|1=''σ'' = [2, 3, 1]}}, dengan {{nowrap|1=''σ''<sub>1</sub> = 2}}, {{nowrap|1=''σ''<sub>2</sub> = 3}}, dan {{nowrap|1=''σ''<sub>3</sub> = 1}}. Himpunan semua permutasi semacam itu (juga dikenal sebagai [[grup simetris]] pada elemen '' n '') dilambangkan dengan S<sub>''n''</sub>. Untuk setiap permutasi '' σ '', sgn('' σ '') menunjukkan [[tanda tangan (permutasi)|tanda tangan]] dari '' σ '', nilai yang +1 setiap kali pengubahan urutan yang diberikan oleh σ dapat dicapai dengan menukar dua entri secara berurutan beberapa kali, dan −1 kapan pun itu dapat dicapai dengan bilangan ganjil dari pertukaran tersebut.
Di salah satu ringkasan <math>n!</math>, istilah
:<math>\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}</math>
adalah notasi untuk produk entri pada posisi {{nowrap|(''i'', σ<sub>''i''</sub>)}}, di mana '' i '' berkisar dari 1 hingga ''n'':
:<math>a_{1,\sigma_1} \cdot a_{2,\sigma_2} \cdots a_{n,\sigma_n}.</math>
Misalnya, determinan a {{nowrap|3 × 3}} matrix ''A'' ({{nowrap|1=''n'' = 3}}) adalah
:<math>\begin{align}
&\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i} \\
={} &\sgn([1,2,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} + \sgn([1,3,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} + \sgn([2,1,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} +{} \\
&\sgn([2,3,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \sgn([3,1,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} + \sgn([3,2,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i} \\
={} &\prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i} \\[2pt]
={} & a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} +
a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.
\end{align}</math>
<!--
=== Levi-Civita symbol ===
It is sometimes useful to extend the Leibniz formula to a summation in which not only permutations, but all sequences of ''n'' indices in the range {{nowrap|1, ..., ''n''}} occur, ensuring that the contribution of a sequence will be zero unless it denotes a permutation. Thus the totally antisymmetric [[Levi-Civita symbol]] <math>\varepsilon_{i_1,\cdots,i_n}</math> extends the signature of a permutation, by setting <math>\varepsilon_{\sigma(1),\cdots,\sigma(n)} = \operatorname{sgn}(\sigma)</math> for any permutation ''σ'' of ''n'', and <math>\varepsilon_{i_1,\cdots,i_n} = 0</math> when no permutation ''σ'' exists such that <math>\sigma(j) = i_j</math> for <math>j=1,\ldots,n</math> (or equivalently, whenever some pair of indices are equal). The determinant for an {{nowrap|''n'' × ''n''}} matrix can then be expressed using an ''n''-fold summation as
:<math>\det(A) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1,i_1} \cdots a_{n,i_n},</math>
or using two epsilon symbols as
:<math> \det(A) = \frac{1}{n!}\sum\varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},</math>
where now each ''i<sub>r</sub>'' and each ''j<sub>r</sub>'' should be summed over {{nowrap|1, ..., ''n''}}.
However, through the use of tensor notation and the suppression of the summation symbol (Einstein's summation convention) we can obtain a much more compact expression of the determinant of the second order system of <math>n=3</math> dimensions, <math>a^m_n</math>;
:<math>\det(a^m_n)e_{rst} = e_{ijk}a_r^i a_s^j a_t^k</math>
where <math>e_{rst}</math> and <math>e_{ijk}</math> represent 'e-systems' that take on the values 0, +1 and −1 given the number of permutations of <math>ijk</math> and <math>rst</math>. More specifically, <math>e_{ijk}</math> is equal to 0 when there is a repeated index in <math>ijk</math>; +1 when an even number of permutations of <math>ijk</math> is present; −1 when an odd number of permutations of <math>ijk</math> is present. The number of indices present in the e-systems is equal to <math>n</math> and thus can be generalized in this manner.<ref>{{cite book |last1=McConnell |title=Applications of Tensor Analysis |url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco |url-access=registration |date=1957 |publisher=Dover Publications |pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]}}</ref>
-->
== Referensi ==
| |||