Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 141:
==== Teori umum ====
Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. [[Struktur aljabar]] dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah [[Monoid#Monoid komutatif|monoid komutatif]] dan [[grup abelian]].
== Produk dari urutan == <!--ditautkan dari bawah-->
=== Notasi pi kapital ===<!--Bagian ini ditautkan dari [[Pi (huruf)]], [[Notasi huruf besar Pi]], [[Notasi huruf besar pi]]-->
Hasil kali rangkaian faktor dapat ditulis dengan simbol hasil kali, yang berasal dari huruf kapital <math>\textstyle \prod</math> (pi) di [[Alfabet Yunani]] (mirip seperti huruf kapital <math>\textstyle \sum</math> (sigma) digunakan dalam konteks [[penjumlahan]]).<ref>{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-16|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Product|url=https://mathworld.wolfram.com/Product.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu}}</ref> Posisi unicode U + 220F (∏) berisi mesin terbang untuk menunjukkan produk seperti itu, berbeda dari U+03A0 (Π), huruf. Arti dari notasi ini diberikan oleh:
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,</math>
that is
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 24.</math>
Subskrip memberikan simbol untuk [[variabel bebas dan variabel terikat|variabel terikat]] (''i'' dalam kasus ini), yang disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya (''1''). Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi mengikuti operator produk, dengan nilai integer yang berurutan menggantikan indeks perkalian, mulai dari batas bawah dan ditambah 1 sampai (dan termasuk) batas atas. Sebagai contoh:
:<math>\prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720</math>
Secara umum, notasi didefinisikan sebagai
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
di mana '' m '' dan '' n '' adalah bilangan bulat atau ekspresi yang dievaluasi menjadi bilangan bulat. Dalam kasus dimana {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, nilai produknya sama dengan nilai faktor tunggalnya ''x''<sub>''m''</sub>; bila {{nowrap|''m'' > ''n''}}, produknya adalah [[produk kosong]] yang nilainya 1 terlepas dari ekspresi faktornya.
=== Produk tak hingga ===
{{Main|Produk tak hingga}}
Seseorang juga dapat mempertimbangkan produk dari istilah yang sangat banyak; ini disebut [[produk tak terbatas]]. Secara notasi, ini terdiri dari mengganti '' n '' di atas dengan [[simbol tak hingga]] ∞. Hasil kali dari urutan tak hingga seperti itu didefinisikan sebagai [[batas urutan | batas]] dari hasil kali suku '' n '' pertama, karena '' n '' tumbuh tanpa batas. Itu adalah,
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>
Seseorang juga dapat mengganti '' m '' dengan tak terhingga negatif, dan mendefinisikan:
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
asalkan kedua batasan itu ada.
== Aksioma ==
{{Main|Aksioma Peano}}
Dalam buku '' [[Arithmetices principal, nova methodo exposita]] '', [[Giuseppe Peano]] mengajukan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksioma-nya untuk bilangan asli.<ref>{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |title=Peano arithmetic |publisher=[[PlanetMath]] |access-date=2007-06-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |archive-date=2007-08-19 |url-status=live }}</ref> Aritmatike peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:
:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>
Di sini '' S '' ('' y '') mewakili [[pengganti ordinal|penerus]] dari '' y '', atau bilangan asli yang '' mengikuti '' '' y ''. Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmatika Peano lainnya termasuk [[Induksi matematika|induksi]]. Misalnya '' S ''(0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x</math>
Aksioma untuk [[bilangan bulat]] biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekivalen dari pasangan bilangan asli yang terurut. Modelnya didasarkan pada perawatan (''x'',''y'') setara dengan {{nowrap|''x'' − ''y''}} jika ''x'' dan ''y'' diperlakukan sebagai bilangan bulat. Jadi baik (0,1) dan (1,2) sama dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat didefinisikan dengan cara ini
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p)</math>
Aturan yang −1 × −1 = 1 dapat disimpulkan
:<math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0)</math>
Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan [[bilangan rasional]] dan kemudian ke [[bilangan riil]].
== Perkalian dengan teori himpunan ==
Hasil perkalian bilangan bulat bukan negatif dapat ditentukan dengan teori himpunan menggunakan [[Bilangan pokok#Perkalian Kardinal|bilangan pokok]] atau [[Aksioma Peano#Aritmetika| Aksioma Peano]]. Lihat [[#Perkalian berbagai jenis bilangan|di bawah]] bagaimana cara mengalikan bilangan bulat sembarangan, lalu bilangan rasional sembarang. Produk dari bilangan riil didefinisikan dalam hal produk dari bilangan rasional, lihat [[konstruksi bilangan riil]].
== Lihat pula ==
| |||