Wikipedia

Turunan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
k Bot: Perubahan kosmetika
Apstrph (bicara | kontrib)
11 suntingan
Penulisan ulang persamaan LaTeX dan revisi penggunaan kata
Baris 3:
[[Berkas:Tangent to a curve.svg|jmpl|[[Grafik fungsi]] (warna hitam) dan [[garis tangen]] pada fungsi (warna merah). [[Kemiringan]] dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.]]
 
'''Turunan''' atau '''Derivatif''' dalam ilmu [[kalkulus]] merupakan pengukuran terhadap bagaimana [[fungsi (matematika)|fungsi]] berubah seiring perubahan nilai inputmasukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaranfungsi berubah akibat perubahan besaran lainnyavariabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah [[kecepatan]] sesaat objek tersebut.
 
Proses dalam menemukan turunan disebut '''diferensiasi'''. Kebalikan dari turunan disebut dengan ''[[antiturunan]]''. [[Teorema fundamental kalkulus]] mengatakan bahwa antiturunan sama dengan [[integral|integrasi]]. Turunan dan integral adalah 2operasi fungsi pentingdasar dalam kalkulus.
 
Notasi umum yang digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.
 
* <math>(\ln x)' = \frac{1}{x}\,</math>▼
* <math>(\sin x)' = \cos x\,</math>▼
* <math>(\cos x)' = -\sin x\,</math>▼
* <math>(\tan x)' = \sec ^2 x\,</math>
* <math>y'</math> adalah simbol untuk turunan pertama.
* <math>y''</math> adalah simbol untuk turunan kedua.
* <math>y'''</math> adalah simbol untuk turunan ketiga.
 
simbol lainnya selain <math>y'\,</math> dan <math>y''\,</math> adalah <math>\frac{dy}{dx}\,</math> dan <math>\frac{d^2y}{(dx)^2}\,</math>
 
== RumusTurunan turunan dasarumum ==
 
=== Umum ===
=== Sifat - sifat turunan ===
* <math>(x^n)' = n x^{n-1}\,</math>▼
Linearitas
* <math>(u^n)' = n u^{n-1} u'\,</math>
 
* <math>(u + v)' = u' + v'\,</math>▼
* <math>\frac{d}{dx}(u -+ v)' = u' -+ v'\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(u vnu)' = u' v + u v'n\frac{du}{dx}\,</math>
 
* <math>(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^2}\,</math>▼
Aturan produk
 
▲* <math>(\sinfrac{d}{dx}(u xv)' = \cos xu' v + u v'\,</math>
 
Dalil rantai
 
*<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx}\,</math>
 
Sifat umum lain
 
▲* <math>\frac{d}{dx}(\frac{u + }{v})' = \frac{u' +v - u v'}{v^2}\,</math>
▲* <math>\frac{d}{dx}(\cos x^n)' = -\sinn x^{n-1}\,</math>
▲* <math>\frac{d}{dx}(xu^n)' = n xnu^{n-1}\,cdot\frac{du}{dx}</math>
 
Dimana fungsi <math>u</math> dan <math>v</math> adalah fungsi satu variabel <math>x</math>.
 
=== Eksponen dan bilangan natural ===
* <math>\frac{d}{dx}(e^x)' = e^x\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(a^x)' = a^x \ln {a}\,</math>
 
=== Logaritma dan bilangan natural ===
* <math>\frac{d}{dx}(\ln {x})' = \frac{1}{x}\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\log_a({x}))' = \frac{1}{x \ln {a}}\,</math>
 
=== Trigonometri ===
* <math>\frac{d}{dx}(\sin {x})' = \cos {x}\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\cos {x})' = -\sin {x}\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\tan {x})' = \sec^2 {x}\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\cot {x})' = -\csc^2 {x}\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\sec {x})' = \sec {x} \tan {x}\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\csc {x})' = -\csc {x }\cot {x}\,</math>
 
;Invers
 
* <math>(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\arccosarcsin x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
 
* <math>(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\arccotarccos x)' = -\frac{-1}{\sqrt{1 +- x^2}}</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\arcsecarctan x)' = \frac{1}{x1 + \sqrt{x^2 - 1}}</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\arccscarccot x)' = -\frac{-1}{x1 + \sqrt{x^2 - 1}}</math>
▲* <math>\frac{d}{dx}(\lnarcsec x)' = \frac{1}{x} \,sqrt{x^2 - 1}}</math>
▲* <math>(\frac{ud}{vdx}(\arccsc x)' = \frac{u' v - u v'1}{vx \sqrt{x^2 - 1}}\,</math>
 
;Hiperbolik
 
* <math>(\sinh x)' = cosh x\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\cosh sinh{x})' = sinh \cosh{x}\,</math>
 
* <math>(\tanh x)' = sech^2 x\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\coth cosh{x})' = -csch^2 \sinh{x}\,</math>
 
<!--
* <math>\frac{d}{dx}(\sech tanh{x})' = -\text{sech x tanh }^2\,{x}\,</math>
* <math>\frac{d}{dx}(\csch coth{x})' = -\text{csch x coth }^2{x}\,</math>
*<math>\frac{d}{dx}(\text{sech}\,{x})=\text{sech}\,{x}\tanh{x}</math>
-->
*<math>\frac{d}{dx}{\text{csch}\,{x}} = -\text{csch}\,{x}\coth{x}</math>
 
== Contoh soal dalam aplikasi turunan ==
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan"