Grup permutasi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
maraton |
Menambah penjelasan terkait invers, menghapus bagian yang redundant dan tidak punya sitasi |
||
Baris 1:
Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup_(matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>. <ref name="durbin"> {{Cite book|title=Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition|publisher=John Willey and Sons, Inc|year=2009|isbn=978-0470-38443-5|last=Durbin|first=John R.}} </ref>
==Notasi==
Baris 12 ⟶ 10:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
Urutan unsur-unsur pada baris pertama dapat ditulis sebarang asalkan konsisten (baris kedua adalah hasil pemetaan dari baris pertama di kolom yang sama). <ref name = "durbin" />▼
▲Urutan unsur-unsur pada baris pertama dapat ditulis sebarang asalkan konsisten (baris kedua adalah hasil pemetaan dari baris pertama di kolom yang sama).
Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh ▼
▲Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math><ref name="durbin" />. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.
Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>. <ref name = "strukal_ab"> {{Cite book|title=Catatan Kuliah Struktur Aljabar|year=2015|last=Barra|first=Aleams}}</ref>
Karena permutasi adalah suatu [[bijeksi]], ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks <math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>, invers dari <math>\sigma</math>yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu, <math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
== Dekomposisi Putaran ==
Baris 32 ⟶ 39:
==Teorema Cayley==
Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>
==Referensi==
{{reflist}}
| |||