Bilangan riil: Perbedaan antara revisi

'''Bilangan riil''' atau '''bilangan real''' dalam [[matematika]] menyatakan [[bilangan]] yang bisa dituliskan dalam bentuk [[desimal]], seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi [[bilangan rasional]], seperti 42 dan −23/129, dan [[bilangan irasional]], seperti π dan <math> \sqrt2 </math>. Bilangan rasional dilambangkan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki lambang desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.<ref name="schaum">{{cite book|title=Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut|last=Wrede|first=Robert|coauthors=Murray R. Spiegel|publisher=Penerbit Erlangga|year=2007|pages=1-2|chapter=Bilangan}}</ref>

Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat&nbsp;- dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada [[abad ke-19]]. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang ArchimedeanArchimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap {{nowrap|('''R''' ; + ; · ; <),}} sampai ke suatu isomorfisma,<ref>Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma ''unik'' di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan riil adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.</ref> sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk [[bilangan rasional]], irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia [[matematika klasik]]