Uji kekonvergenan

(Dialihkan dari Tes konvergensi)

Uji kekonvergenan (bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar tesSunting

Limit dari jinumlahSunting

Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu  , maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.

Uji rasioSunting

Ini juga dikenal sebagai "Kriteria D'Alembert" (D'Alembert's criterion). Andaikan terdapat   sedemikian rupa sehingga

 
Jika r < 1, maka deret tersebut konvergen.
Jika r > 1, maka deret tersebut divergen.
Jika r = 1, uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Uji akarSunting

Ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (nth root test atau "Kriteria Cauchy", Cauchy's criterion). Misalkan

 
di mana   melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).
Jika r < 1, maka deret tersebut konvergen.
Jika r > 1, maka deret tersebut divergen.
Jika r = 1, uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Uji integralSunting

Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. Misalnya   adalah suatu fungsi positif dan monoton menurun sedemikian rupa sehingga  .

Jika   maka deret tersebut konvergen
Jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen.

Dengan kata lain, deret   konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.

Uji perbandingan langsungSunting

Jika deret   merupakan suatu deret konvergen mutlak dan   untuk n yang cukup besar, maka deret   konvergen mutlak.

Uji perbandingan limitSunting

Jika  , dan limit   ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka   konvergen jika dan hanya jika   konvergen.

Uji kondensasi CauchySunting

Misalkan   adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah   adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah   konvergen. Lagi pula, jika konvergen, maka   berlaku.

Uji AbelSunting

Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:

  1.   adalah suatu deret konvergen,
  2. {bn} adalah suatu urutan monoton, dan
  3. {bn} mempunyai batasan (bounded).

Maka   juga konvergen.

Uji Raabe–DuhamelSunting

Misalkan { an } > 0.

Definisikan

 .

Jika   ada, maka ada tiga kemungkinan:

  • Jika L > 1 deret itu konvergen
  • Jika L < 1 deret itu divergen
  • Jika L = 1 tes itu tidak konklusif.

Suatu rumus selang-seling dari uji ini adalah sebagai berikut. Misalkan {an} adalah suatu deret bilangan real. Maka jika b > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga

 

untuk semua n > K maka deret { an } itu konvergen.

CatatanSunting

  • Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini

PerbandinganSunting

Uji akar lebih kuat dari uji rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana uji rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari uji akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.[1]

Contohnya, untuk deret

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

konvergen menurut tes akar tetapi tidak konvergen menurut tes rasio.

ContohSunting

Pertimbangkan deret

 .

Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa (*) konvergen hingga jika

 

secara finit konvergen. Karena

 

(**) merupakan deret geometrik dengan rasio  . (**) merupakan konvergen hingga jika rasionya kurang dari satu (yaitu  ). Jadi, (*) merupakan konvergen hingga jika dan hanya jika  .

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Tes Rasio

Pranala luarSunting