Sistem dinamikal

model matematika yang menggambarkan ketergantungan waktu suatu titik dalam suatu ruang geometris

Dalam matematika, sistem dinamikal adalah sebuah sistem dimana sebuah fungsi mendeskripsikan ketergantungan waktu dari sebuah titik dalam sebuah ruang geometri. Contoh-contohnya meliputi model matematika yang mendeskripsikan gerak pendulum jam, aliran air dalam sebuah pipa, dan jumlah ikan setiap musim semi di danau.

Atraktor Lorenz berkembang dalam studi Oksilator Lorenz, sebuah sistem dinamikal.

Pada waktu manapun yang diberikan, sistem dinamikal memiliki keadaan yang diberikan oleh serangkaian angkata nyata (sebuah cektor) yang dapat diwakili oleh sebuah poin dalam sebuah ruang keadaan (sebuah manifold geometri). Aturan evolusi dari sistem dinamikal adalah sebuah fungsi yang menyebut apakah keadaan-keadaan mendatang diikuti dari keadaan saat ini. Seringkali, fungsi tersebut bersifat [[sistem deterministik (matematika)}deterministik]], yang selama waktu yang diberikan hanya terdiri dari satu keadaan mendatang dari keadaan saat ini.[1][2] Namun, beberapa sistem bersifat stokastik, dalam peristiwa-peristiwa acak yang juga berdampak pada evolusi keadaan yang beragam.

Dalam fisika, sistem dinamikal dideskripsikan sebagai sebuah "partikel atau kelompok dari partikel yang keadaannya beragam sepanjang waktu dan kemudian menunjukkan persamaan diferensial yang melibatkan derivatif waktu."[3] Dalam rangkaian untuk membuat sebuah prediksi tentang perilaku mendatang dari sistem tersebut, sebuah solusi analitik dari persamaan semacam itu atau integrasi mereka sepanjang waktu melalui simulasi komputer direalisasikan.

Studi sistem dinamikal adalah fokus teori sistem dinamikal, yang memiliki aplikasi kepada serangkaian besar bidang seperti matematika, fisika,[4][5] biologi,[6] kimia, teknik,[7] ekonomi,[8] dan kedokteran. Sistem dinamikal adalah sebuah bagian fundamental dari teori kekacauan, dinamika peta logistik, teori bifurkasi, proses majelis diri, dan konsep tepi kekacauan.

IkhtisarSunting

Konsep sistem dinamik berasal dari mekanika Newton. Di sana, seperti dalam ilmu alam dan disiplin teknik lainnya, aturan evolusi sistem dinamis adalah hubungan implisit yang memberikan keadaan sistem hanya untuk waktu yang singkat ke masa depan. (The relasinya bisa berupa persamaan diferensial, persamaan perbedaan atau skala|waktu lainnya.) Untuk menentukan keadaan untuk semua waktu yang akan datang membutuhkan pengulangan hubungan berkali-kali setiap memajukan waktu satu langkah kecil. Prosedur iterasi disebut sebagai menyelesaikan sistem atau mengintegrasikan sistem . Bila sistem dapat diselesaikan, dengan titik awal dimungkinkan untuk menentukan semua posisi masa depannya, kumpulan titik yang dikenal sebagai lintasan atau orbit .

Sebelum munculnya komputer, menemukan orbit memerlukan teknik matematika yang canggih dan hanya dapat dilakukan untuk kelas kecil sistem dinamis. Metode numerik yang diterapkan pada mesin komputasi elektronik telah menyederhanakan tugas penentuan orbit sistem dinamik.

Untuk sistem dinamis sederhana, mengetahui lintasan seringkali sudah cukup, tetapi kebanyakan sistem dinamis terlalu rumit untuk dipahami dalam kaitannya dengan lintasan individu. Kesulitan muncul karena:

  • Sistem yang dipelajari mungkin hanya diketahui kira-kira parameter sistem mungkin tidak diketahui secara tepat atau istilah mungkin hilang dari persamaan. Perkiraan yang digunakan mempertanyakan validitas atau relevansi solusi numerik. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, beberapa pengertian tentang stabilitas telah diperkenalkan dalam studi sistem dinamis, seperti stabilitas Lyapunov atau stabilitas struktural. Stabilitas sistem dinamis menyiratkan bahwa ada kelas model atau kondisi awal yang lintasannya akan setara. Operasi untuk membandingkan orbit untuk menetapkan kesetaraan berubah dengan pengertian stabilitas yang berbeda.
  • Jenis lintasan mungkin lebih penting daripada satu lintasan tertentu. Beberapa lintasan mungkin periodik, sedangkan yang lain mungkin berjalan melalui banyak keadaan sistem yang berbeda. Aplikasi sering kali memerlukan pencacahan kelas-kelas ini atau memelihara sistem dalam satu kelas. Mengklasifikasikan semua kemungkinan lintasan telah mengarah pada studi kualitatif sistem dinamis, yaitu properti yang tidak berubah di bawah perubahan koordinat. Sistem dinamika linear dan sistem yang memiliki dua bilangan yang menggambarkan suatu keadaan adalah contoh sistem dinamika yang kelas orbitnya mungkin dipahami.
  • Perilaku lintasan sebagai fungsi parameter mungkin adalah apa yang dibutuhkan untuk aplikasi. Sebagai parameter yang bervariasi, sistem dinamis mungkin memiliki titik bifurkasi di mana perilaku kualitatif sistem dinamis berubah. Misalnya, ini mungkin berubah dari hanya memiliki gerakan periodik menjadi perilaku yang tampaknya tidak menentu, seperti dalam transisi ke turbulensi fluida.
  • Lintasan sistem mungkin tampak tidak menentu, seolah acak. Dalam kasus ini, mungkin perlu menghitung rata-rata menggunakan satu lintasan yang sangat panjang atau banyak lintasan yang berbeda. Rata-rata didefinisikan dengan baik untuk sistem ergodik dan pemahaman yang lebih rinci telah dikerjakan untuk sistem hiperbolik. Memahami aspek probabilistik dari sistem dinamika telah membantu menetapkan dasar mekanika statistik dan kekacauan.

SejarahSunting

Banyak orang menganggap ahli matematika Prancis Henri Poincaré sebagai pendiri sistem dinamis.[9] Poincaré menerbitkan dua monograf klasik sekarang, "Metode Baru Mekanika Langit" (1892–1899) dan "Ceramah tentang Mekanika Langit" (1905–1910). Di dalamnya, ia berhasil menerapkan hasil penelitiannya pada masalah gerak tiga benda dan mempelajari secara detail perilaku larutan (frekuensi, stabilitas, asimtotik, dan sebagainya). Makalah ini termasuk Teorema pengulangan Poincaré, yang menyatakan bahwa sistem tertentu akan, setelah waktu yang cukup lama tetapi terbatas, kembali ke keadaan yang sangat dekat dengan keadaan awal.

Aleksandr Lyapunov mengembangkan banyak metode pendekatan penting. Metodenya, yang ia kembangkan pada tahun 1899, memungkinkan untuk mendefinisikan kestabilan himpunan persamaan diferensial biasa. Dia menciptakan teori modern tentang stabilitas sistem dinamik.

Pada tahun 1913, George David Birkhoff membuktikan "Teorema Geometris Terakhir" Poincaré, kasus khusus dari masalah tiga benda, hasil yang membuatnya terkenal di dunia. Pada tahun 1927, dia menerbitkannya Dynamical Systems. Hasil Birkhoff yang paling tahan lama adalah penemuannya pada tahun 1931 tentang apa yang sekarang disebut teorema ergodik. Menggabungkan wawasan dari fisika pada hipotesis ergodik dengan teori pengukuran, teorema ini memecahkan, setidaknya secara prinsip, masalah fundamental mekanika statistik. Teorema ergodik juga berdampak pada dinamika.

Stephen Smale juga membuat kemajuan yang signifikan. Kontribusi pertamanya adalah Tapal kuda yang memulai penelitian signifikan dalam sistem dinamis. He also outlined a research program carried out by many others.

Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky mengembangkan Teorema Sharkovsky pada periode sistem dinamika diskrit pada tahun 1964. Salah satu implikasi dari teorema tersebut adalah bahwa jika sistem dinamik diskrit pada garis nyata memiliki titik periodik periode 3, maka sistem tersebut harus memiliki titik periodik dari setiap periode lainnya.

Pada akhir abad ke-20, insinyur mesin Palestina Ali H. Nayfeh menerapkan dinamika nonlinier dalam sistem mekanika dan teknik.[10] Karya perintisnya dalam dinamika nonlinier terapan telah berpengaruh dalam konstruksi dan pemeliharaan mesin dan struktur yang umum dalam kehidupan sehari-hari, seperti kapal, crane, jembatan, bangunan, gedung pencakar langit, mesin jet, mesin roket, pesawat dan pesawat ruang angkasa.[11]

Definisi dasarSunting

Sistem dinamik adalah manifold M yang disebut ruang fase (atau keadaan) yang diberkahi dengan keluarga fungsi evolusi halus Φt bahwa untuk setiap elemen dari t T , waktu, petakan titik ruang fase kembali ke ruang fase. Gagasan tentang kehalusan berubah dengan aplikasi dan jenis manifold. Ada beberapa pilihan untuk himpunan T . Ketika T dianggap real, sistem dinamik disebut aliran ; dan jika T dibatasi untuk real non-negatif, maka sistem dinamik adalah semi-aliran . Ketika T diambil sebagai integer, itu adalah cascade atau map ; dan batasan untuk bilangan bulat non-negatif adalah semi-cascade .

Catatan: Ada syarat teknis lebih lanjut itu Φt adalah tindakan T pada M . Maka hal tersebut termasuk fakta-fakta itu Φ0 adalah fungsi identitas dan itu Φs+t adalah komposisi Φs dan Φt. Ini adalah aksi semigroup, yang tidak memerlukan keberadaan nilai negatif untuk t , dan tidak memerlukan fungsi Φt menjadi bisa dibalik.

ContohSunting

Fungsi evolusi Φ t sering menjadi solusi dari persamaan gerak diferensial

 

Persamaan tersebut memberikan turunan waktu, diwakili oleh titik, dari lintasan x ( t ) pada ruang fase yang dimulai dari beberapa titik x0. Bidang vektor v ( x ) adalah fungsi halus yang pada setiap titik ruang fase M menyediakan vektor kecepatan sistem dinamis pada titik tersebut. (Vektor-vektor ini bukanlah vektor dalam ruang fase M , tetapi dalam ruang tangen TxM dari titik x .) Diberikan halus Φ t, bidang vektor otonom dapat diturunkan darinya.

Tidak perlu turunan orde tinggi dalam persamaan, atau ketergantungan waktu dalam v ( x ) karena ini dapat dihilangkan dengan mempertimbangkan sistem dengan dimensi yang lebih tinggi. Jenis persamaan diferensial lainnya dapat digunakan untuk menentukan aturan evolusi:

 

merupakan contoh persamaan yang muncul dari pemodelan sistem mekanik dengan kendala yang rumit.

Persamaan diferensial menentukan fungsi evolusi Φ t sering kali persamaan diferensial biasa; dalam hal ini ruang fase M adalah manifol berdimensi hingga. Banyak konsep dalam sistem dinamis dapat diperluas ke lipatan berdimensi tak hingga — yang secara lokal Ruang Banach dalam hal ini persamaan diferensial adalah persamaan diferensial parsial. Pada akhir abad ke-20, perspektif sistem dinamis terhadap persamaan diferensial parsial mulai populer.

Contoh lebih lanjutSunting

Sistem dinamis linearSunting

Sistem dinamika linier dapat diselesaikan dalam istilah fungsi sederhana dan perilaku semua orbit yang diklasifikasikan. Dalam sistem linier, ruang fase adalah ruang Euklides berdimensi N , sehingga titik mana pun dalam ruang fase dapat direpresentasikan oleh vektor dengan angka N . Analisis sistem linier dimungkinkan karena memenuhi prinsip superposisi: bila u ( t ) dan w ( t ) memenuhi persamaan diferensial untuk bidang vektor (tapi tidak perlu), maka begitu juga u ( t ) + w ( t ).

ArusSunting

Untuk aliran, bidang vektor v ( x ) adalah fungsi affin dari posisi dalam ruang fase, yaitu,

 

dengan A matriks, b vektor angka dan x vektor posisi. Solusi untuk sistem ini dapat ditemukan dengan menggunakan prinsip superposisi (linieritas). Kasus b ≠ 0 dengan A = 0 hanyalah garis lurus ke arah b :

 

Ketika b adalah nol dan A ≠ 0, titik asal adalah titik ekuilibrium (atau singular) aliran, yaitu, bila x0= 0, maka orbitnya tetap di sana. Untuk kondisi awal lainnya, persamaan gerak diberikan oleh eksponensial matriks: untuk titik awal x0,

 

Ketika b = 0, nilai eigen dari A menentukan struktur ruang fase. Dari nilai eigen dan vektor eigen dari A adalah mungkin untuk menentukan apakah titik awal akan bertemu atau menyimpang ke titik ekuilibrium di titik asal.

Jarak antara dua kondisi awal yang berbeda dalam kasus A ≠ 0 akan berubah secara eksponensial dalam banyak kasus, baik secara eksponensial cepat menuju suatu titik, atau divergen eksponensial. Sistem linier menampilkan ketergantungan sensitif pada kondisi awal jika terjadi divergensi. Untuk sistem nonlinier ini adalah salah satu kondisi (perlu tapi tidak cukup) untuk teori kekacauan

 
Bidang vektor linear dan beberapa lintasan.

MapsSunting

waktu-diskrit, affin sistem dinamik berbentuk a persamaan perbedaan matriks:

 

dengan A matriks dan b vektor. Seperti dalam kasus berkelanjutan, perubahan koordinat x x + (1 - A ) –1 b menghapus istilah. Dalam sistem koordinat baru, titik asal adalah titik tetap pada peta dan solusinya adalah sistem linear A nx0. Solusi untuk peta tidak lagi kurva, tetapi titik-titik yang melompat dalam ruang fase. Orbit diatur dalam kurva, atau serat, yang merupakan kumpulan titik yang memetakan dirinya di bawah.

Seperti dalam kasus kontinu, nilai eigen dan vektor eigen dari A menentukan struktur ruang fase. Contohnya, bila u1 adalah vektor eigen dari A , dengan nilai eigen nyata lebih kecil dari satu, maka garis lurus diberikan oleh titik-titik di sepanjang α u1, dengan α ∈ R, adalah kurva invarian dari peta. Titik-titik dalam garis lurus ini menuju ke titik tetap.

Ada juga banyak sistem dinamika diskrit lainnya.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Strogatz, S. H. (2001). Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology and Chemistry. Perseus. 
  2. ^ Katok, A.; Hasselblatt, B. (1995). Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-34187-6. 
  3. ^ "Nature". Springer Nature. Diakses tanggal 17 February 2017. 
  4. ^ Melby, P.; et.al. (2005). "Dynamics of Self-Adjusting Systems With Noise". Chaos 15. Bibcode:2005Chaos..15c3902M. doi:10.1063/1.1953147. 
  5. ^ Gintautas, V.; et.al. (2008). "Resonant forcing of select degrees of freedom of multidimensional chaotic map dynamics". J. Stat. Phys. 130. arXiv:0705.0311 . Bibcode:2008JSP...130..617G. doi:10.1007/s10955-007-9444-4. 
  6. ^ Jackson, T.; Radunskaya, A. (2015). Applications of Dynamical Systems in Biology and Medicine. Springer. 
  7. ^ Kreyszig, Erwin (2011). Advanced Engineering Mathematics. Hoboken: Wiley. ISBN 978-0-470-64613-7. 
  8. ^ Gandolfo, Giancarlo (2009) [1971]. Economic Dynamics: Methods and Models (edisi ke-Fourth). Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-13503-3. 
  9. ^ Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.
  10. ^ Rega, Giuseppe (2019). "Tribute to Ali H. Nayfeh (1933-2017)". IUTAM Symposium on Exploiting Nonlinear Dynamics for Engineering Systems. Springer. hlm. 1–2. ISBN 9783030236922. 
  11. ^ "Ali Hasan Nayfeh". Franklin Institute Awards. The Franklin Institute. 4 February 2014. Diakses tanggal 25 Agustus 2019. 

Bacaan tambahanSunting

Karya yang menyediakan sorotan besar:

Teks-teks pengenalan dengan sudut pandang unik:

Buku teks

Popularisasi:

Pranala luarSunting

Buku maya atau catatan ceramah:

Kelompok riset:

Perangkat lunak simulasi yang berdasarkan pada kesepakatan Sistem Dinamikal:

  • FyDiK
  • iDMC, simulation and dynamical analysis of nonlinear models