Penyeragaman (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, sebuah cabang matematika, aksioma penyeragaman merupakan sebuah bentuk lemah dari aksioma pemilihan. Ini menyatakan bahwa jika $R$ adalah sebuah himpunan bagian dari $X\times Y$, dimana $X$ dan $Y$ adalah ruang Polish, maka terdapat sebuah himpunan bagian $f$ dari $R$ yang merupakan sebuah fungsi parsial dari $X$ ke $Y$, dan yang ranahnya (himpunan semua $x$ sehingga $f(x)$ ada) sama

$\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}$

Seperti sebuah fungsi disebut sebuah fungsi penyeragaman untuk $R$, atau sebuah penyeragaman dari $R$

Penyeragaman mengenai relasi $R$ (berwarna biru terang) oleh fungsi $f$ (berwarna merah).

Untuk melihat hubungan dengan aksioma pemilihan, amatilah bahwa $R$ dapat dianggap sebagai menghubungkan, untuk setiap unsur $X$, sebuah himpunan bagian $Y$. Sebuah penyeragaman $R$ kemudian ambil tepatnya satu unsur dari masing-masing himpunan bagian, setiap kali himpunan bagiannya adalah takkosong. Demikian, memungkinkan himpunan sembarang $X$ dan $Y$ (daripada ruang Polish) akan membuat aksioma penyeragaman setara dengan aksioma pemilihan.

Sebuah kelas titik ${\boldsymbol {\Gamma }}$ dikatakan memiliki sifat penyeragaman jika setiap relasi $R$ di ${\boldsymbol {\Gamma }}$ dapat diseragamkan oleh sebuah fungsi parsial di ${\boldsymbol {\Gamma }}$. Sifat penyeragaman disiratkan oleh sifat skala, setidaknya untuk kelas titik memadai bentuk tertentu.

Ini diikuti dari teori himpunan Zermelo–Fraenkel sendiri bahwa ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$ dan ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}$ memiliki sifat penyeragaman. Ini diikuti dari keberadaan kardinal besar yang cukup bahwa

• ${\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}$ dan ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}$ memiliki sifat penyeragaman untuk setiap bilangan asli $n$.
• Oleh karena itu, kumpulan himpunan projektif memiliki sifat penyeragaman.
• Setiap relasi di $\mathrm {L} (R)$ dapat diseragamkan, tapi tidak diperluakan oleh sebuah fungsi di $\mathrm {L} (R)$. Faktanya, $\mathrm {L} (R)$ tidak memiliki sifat penyeragaman (dengan setara, $\mathrm {L} (R)$ tidak memenuhi aksioma penyeragaman).
  • (Catatan: trivialnya bahwa setiap relasi di $\mathrm {L} (R)$ dapat diseragamkan di $V$, asumsi $\mathrm {V}$ memenuhi aksioma pemilihan. Poinnya adalah bahwa setiap relasi dapat diseragamkan dalam suatu model dalam transitif $\mathrm {V}$ di mana aksioma determinasi berlaku.)

Referensi

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.