Sistem koordinat Kartesius

sistem koordinat ortogonal
(Dialihkan dari Koordinat Kartesian)

Sebuah Sistem koordinat Kartesius (UK /kɑːˈtzjən/, US /kɑːrˈtiʒən/) adalah sistem koordinat yang menetapkan setiap titik secara unik dalam bidang dengan serangkaian koordinat numerik, yang merupakan jarak yang bertanda titik dari dua garis berorientasi tegak lurus tetap, diukur dalam satuan panjang yang sama. Setiap garis referensi disebut sumbu koordinat atau hanya sumbu (sumbu jamak) dari sistem, dan titik di mana mereka bertemu adalah asalnya, pada pasangan terurut (0,0). Koordinat juga dapat didefinisikan sebagai posisi proyeksi tegak lurus dari titik ke dua sumbu, yang dinyatakan sebagai jarak yang ditandatangani dari titik asal.

Ilustrasi bidang koordinat Kartesius. Empat titik ditandai dan diberi label dengan koordinatnya: (2, 3) pada hijau, (−3, 1) pada merah, (−1.5, −2.5) pada biru, dan asal (0, 0) pada ungu.

Seseorang dapat menggunakan prinsip yang sama untuk menentukan posisi titik mana pun dalam ruang tiga dimensi dengan tiga koordinat Kartesius, jarak yang ditandai ke tiga bidang yang saling tegak lurus (atau, ekuivalen, dengan proyeksi tegak lurus ke tiga garis yang saling tegak lurus). Secara umum, koordinat kartesius n (elemen ruang-n nyata) menentukan titik dalam ruang Euclidean berdimensi-n untuk setiap dimensi n. Koordinat ini sama, sampai tanda, dengan jarak dari titik ke n hyperplanes yang saling tegak lurus.

Penemuan koordinat Kartesius pada abad ke-17 oleh René Descartes (Nama Latin: Cartesius) merevolusi matematika dengan menyediakan hubungan sistematis pertama antara geometri Euclidean dan aljabar. Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk geometris (seperti kurva) dapat dijelaskan dengan persamaan Kartesius: persamaan aljabar yang melibatkan koordinat titik-titik yang terletak pada bentuk. Misalnya, lingkaran dengan jari-jari 2, berpusat di titik awal bidang, dapat digambarkan sebagai himpunan semua titik yang koordinat x dan y memenuhi persamaan x2 + y2 = 4.

SejarahSunting

Kata sifat Kartesius mengacu pada ahli matematika dan filsuf Prancis René Descartes, yang menerbitkan gagasan ini pada 1637. Itu ditemukan secara independen oleh Pierre de Fermat, yang juga bekerja dalam tiga dimensi, meskipun Fermat tidak mempublikasikan penemuan tersebut.[1] Pendeta Prancis Nicole Oresme menggunakan konstruksi yang mirip dengan koordinat Kartesius jauh sebelum zaman Descartes dan Fermat.[2]

Baik Descartes dan Fermat menggunakan satu sumbu dalam perawatan mereka dan memiliki panjang variabel yang diukur dengan mengacu pada sumbu ini. Konsep menggunakan sepasang sumbu diperkenalkan kemudian, setelah La Géométrie Descartes diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada tahun 1649 oleh Frans van Schooten dan murid-muridnya. Para komentator ini memperkenalkan beberapa konsep sambil mencoba mengklarifikasi gagasan yang terkandung dalam karya Descartes.[3]

Pengembangan sistem koordinat Kartesius akan memainkan peran mendasar dalam pengembangan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz.[4] Deskripsi dua koordinat bidang itu kemudian digeneralisasikan menjadi konsep ruang vektor.[5]

Banyak sistem koordinat lain telah dikembangkan sejak Descartes, seperti koordinat kutub untuk bidang, dan koordinat bola dan silinder untuk ruang tiga dimensi.

Sistem koordinat dua dimensiSunting

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua garis sumbu yang saling tegak lurus dan terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain (satu sumbu tegak lurus dengan sumbu yang lain).

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

 
Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel di bawah ini).

Kuadran nilai x nilai y
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III < 0 < 0
IV > 0 < 0

RefrensiSunting

  1. ^ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica. Diakses tanggal 2017-08-06. 
  2. ^ Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (2017-10-04). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography (dalam bahasa Inggris). Routledge. ISBN 9781317568216. 
  3. ^ Burton 2011, p. 374
  4. ^ A Tour of the Calculus, David Berlinski
  5. ^ Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right - Springer. Undergraduate Texts in Mathematics. hlm. 1. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. 

Pranala luarSunting