Bilangan segitiga kuadrat

Dalam teorema bilangan, jumlah $n$ pangkat tiga pertama adalah kuadrat dari bilangan segitiga ke-$n$. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai

Persegi yang panjang sisinya adalah bilangan segitiga dapat dipartisi menjadi persegi dan setengah persegi, yang luasnya bertambah menjadi jumlah bilangan pangkat tiga.

$$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.$$

Dengan menggunakan notasi Sigma, persamaan tersebut dapat ditulis

$$\sum _{k=1}^{n}k^{3}={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.$$

Identitas tersebut terkadang disebut juga teorema Nicomachus, yang dinamai dari Nicomachus dari Geresa.

Sejarah

Dalam bagian akhir Bab 20, di buku Introduction to Arithmetic, Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah $1^{3}$, maka jumlah kedua berikutnya adalah $2^{3}$, jumlah ketiga berikutnya adalah $3^{3}$, dan begitupula seterusnya. Nichomacus tidak menjelaskannya lebih lanjut, tetapi pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa jumlah dari $n^{3}$ pertama sama dengan jumlah dari bilangan ganjil ${\textstyle n(n+1)/2}$ yang pertama, dalam artian bahwa bilangan ganjil yang berawal dari 1 sampai $n(n+1)-1$. Rata-rata dari bilangan tersebut adalah ${\textstyle n(n+1)/2}$. dan terdapat ${\textstyle n(n+1)/2}$ bilangan tersebut, sehingga jumlahnya adalah ${\textstyle \left(n(n+1)/2\right)^{2}}$.

Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus. (Stroeker 1995) mengatakan bahwa "setiap siswa yang mempelajari teori bilangan ini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini". (Pengelley 2002) menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya Nicomachus di Jordan pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya Aryabhata di India pada abad kelima, dan karya Al-Karaji sekitar 1000 di Persia. (Bressoud 2004) menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh Al-Qabisi di Arab pada abad kesepuluh, Gersonides di Prancis sekitar tahun 1300, dan Nilakantha Somayaji di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha.

Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik

Semua 36 (= (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³) persegi panjang, berisi 14 (= 1² + 2² + 3²) persegi (merah), dalam persegi 3×3, di kisi (4×4).

Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah:

0,1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... (barisan A000537 pada OEIS).

Bilangan segitiga kuadrat tersebut dapat dipandang sebagai bilangan figurasi, suatu perumuman hiperpiramidal empat dimensi dari bilangan segitiga dan bilangan piramidal persegi.

(Stein 1971) mengamati bahwa bilangan segitiga kuadrat juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah $n\times n$ kisi. Sebagai contoh, titik-titik dari $4\times 4$ kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. Dengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi persegi tersebut dihitung dengan bilangan piramidal kuadrat.

Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan $W,X,Y,Z$ menyatakan bilangan bulat yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara $1$ dan $n$. Maka, probabilitas mengatakan bahwa $W$ adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan $Y$ setidaknya sebesar $X$, dan $W$ setidaknya sebesar $Z$

$$\mathbf {P} ({\max(X,Y,Z)\leq W})=\mathbf {P} (\{X\leq Y\}\cap \{Z\leq W\}).$$

Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh $n^{4}$.

Pembuktian

Charles Wheatstone (1854) memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitas

$$n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ bilangan ganjil berurutan }}}.$$

Identitas tersebut berkaitan dengan bilangan segitiga $T_{n}$ yang disederhankan sebagai:

$$n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1).$$

Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk $n^{3}$ setelah semua bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari $1^{3}$ sampai $(n-1)^{3}$ . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:

$$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),$$

maka akan menghasilkan bentuk berikut:

$${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}$$

(Row 1893) mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-$i$ adalah $i$ dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan gnomon bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.

Gambaran visual yang mengatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah bilangan pangkat tiga.

Dalam literatur matematika yang baru-baru ini, (Edmonds 1957) memberikan bukti dari jumlah bilangan segitiga kuadrat dengan menggunakan penjumlahan bagian-demi-bagian. (Stein 1971) menggunakan pandangan perhitungan persegi panjang dari bilangan-bilangan tersebut agar membentuk bukti geometris dari identitas (lihat pula Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); ia mengamati bahwa pandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) memlalui induksi, dan menyatakan bahwa (Toeplitz 1963) memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". (Kanim 2004) memberikan bukti visual murni, (Benjamin & Orrison 2002) memberikan dua bukti tambahan, dan (Nelsen 1993) memberikan tujuh bukti geometris.

Perumuman

Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua jumlah pangkat: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut polinomial Faulhaber, suatu polinomial dengan jumlah bilangan pangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain.

(Stroeker 1995) mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. (Garrett & Hummel 2004) dan (Warnaar 2004) mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.

Referensi

• Benjamin, Arthur T.; Orrison, M. E. (2002), "Two quick combinatorial proofs of $\textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$" (PDF), College Mathematics Journal, 33 (5): 406–408, doi:10.2307/1559017, JSTOR 1559017 .
• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (2006), "Summing cubes by counting rectangles" (PDF), College Mathematics Journal, 37 (5): 387–389, doi:10.2307/27646391, JSTOR 27646391 .
• Bressoud, David (2004), Calculus before Newton and Leibniz, Part III (PDF), AP Central .
• Edmonds, Sheila M. (1957), "Sums of powers of the natural numbers", The Mathematical Gazette, 41: 187–188, doi:10.2307/3609189, JSTOR 3609189, MR 0096615 
• Garrett, Kristina C.; Hummel, Kristen (2004), "A combinatorial proof of the sum of q-cubes", Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), Research Paper 9, MR 2034423 .
• Gulley, Ned (March 4, 2010), Shure, Loren, ed., Nicomachus's Theorem, Matlab Central .
• Kanim, Katherine (2004), "Proofs without words: The sum of cubes—An extension of Archimedes' sum of squares", Mathematics Magazine, 77 (4): 298–299, doi:10.2307/3219288, JSTOR 3219288 .
• Nelsen, Roger B. (1993), Proofs without Words, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7 .
• Pengelley, David (2002), "The bridge between continuous and discrete via original sources", Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF), National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden .
• Row, T. Sundara (1893), Geometric Exercises in Paper Folding, Madras: Addison, pp. 47–48 .
• Stein, Robert G. (1971), "A combinatorial proof that $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$", Mathematics Magazine, 44 (3): 161–162, doi:10.2307/2688231, JSTOR 2688231 .
• Stroeker, R. J. (1995), "On the sum of consecutive cubes being a perfect square", Compositio Mathematica, 97 (1–2): 295–307, MR 1355130 .
• Toeplitz, Otto (1963), The Calculus, a Genetic Approach, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9 .
• Warnaar, S. Ole (2004), "On the q-analogue of the sum of cubes", Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), Note 13, MR 2114194 .
• Wheatstone, C. (1854), "On the formation of powers from arithmetical progressions" (PDF), Proceedings of the Royal Society of London, 7: 145–151, doi:10.1098/rspl.1854.0036 .

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Nicomachus's theorem". MathWorld. 
• A visual proof of Nicomachus's theorem Diarsipkan 2017-01-29 di Wayback Machine.