Transformasi Laplace

Transformasi Laplace atau alih ragam Laplace[1] adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

Dalam matematika jenis transformasi atau alih ragam ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, perangkat optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.

Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.

Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang fisika, optik, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pengolahan isyarat dan teori kemungkinan.

Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi, Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler, seorang ahli matematika prolific Swiss abad kedelapanbelas.

Definisi formal sunting

Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:

 

Limit bawah   adalah kependekan dari   dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi delta Dirac   pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f(t) pada 0.

Secara umum parameter s bernilai kompleks:

 

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya s (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.

Tabel berikut ini adalah daftar transformasi Laplace:[2]

Karakteristik transformasi Laplace
Domain waktu Domain s Keterangan
Linearitas     Dapat dibuktikan dengan aturan integral sederhana.
Turunan domain-frekuensi     F adalah turunan pertama dari F.
Turunan umum domain-frekuensi     Bentuk yang lebih umum, turunan ke-n dari F(s).
Turunan     f diasumsikan sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi, dan turunannya diasumsikan bertipe eksponensial. Lalu didapatkan melalui integral parsial
Turunan kedua     f diasumsikan diturunkan 2 kali dan turunan kedua merupakan eksponensial. Dilanjutkan dengan memasukkan properti turunan ke f′(t).
Turunan secara umum     f diasumsikan diturunkan ke-n kali, dengan turunan ke-n adalah eksponensial. Dilanjutkan dengan induksi matematika.
Integrasi domain-frekuensi    
Integrasi domain-waktu     u(t) adalah fungsi step Heaviside. Catat bahwa (uf)(t) adalah konvolusi dari u(t) dan f(t).
Frequency shifting    
Time shifting     u(t) adalah fungsi step Heaviside
Time scaling      
Perkalian     Integrasi dilakukan sepanjang garis vertikal Re(σ) = c yang terletak di antara luasan konvergen F.[3]
Konvolusi    
Konjugasi kompleks    
Cross-correlation    
Fungsi periodik     f(t) adalah fungsi periodik dari periode T sehingga f(t) = f(t + T), untuk semua t ≥ 0.

Kutipan sunting

  1. ^ "Laplace transformation - Glosarium Pusat Bahasa". bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/. Diakses tanggal 08-10-2022. 
  2. ^ Korn & Korn 1967, hlm. 226–227
  3. ^ Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385

Referensi sunting

Modern sunting

  • Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (edisi ke-2nd), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4 
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (edisi ke-3rd), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8 
  • Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403 
  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (edisi ke-2nd), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1 
  • Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923 
  • Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5 
  • Takacs, J. (1953), "Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal", Magyar Hiradastechnika (dalam bahasa Hungarian), IV (7–8): 93–96 

Klasik sunting

  • Euler, L. (1744), "De constructione aequationum" [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), 22: 150–161 
  • Euler, L. (1753), "Methodus aequationes differentiales" [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), 22: 181–213 
  • Euler, L. (1992) [1769], "Institutiones calculi integralis, Volume 2" [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN 978-3764314743 , Chapters 3–5
  • Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (dalam bahasa Latin), II, Paris: Petropoli, ch. 3–5, pp. 57–153 
  • Grattan-Guinness, I (1997), "Laplace's integral solutions to partial differential equations", dalam Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1 
  • Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, hlm. 171–234 

Bacaan lanjutan sunting

Pranala luar sunting