Tensor tegangan Cauchy

Dalam mekanika kontinuum, tensor tegangan Cauchy ${\boldsymbol {\sigma }}$, atau disebut juga tensor tegangan, adalah sebuah tensor orde dua yang dinamai dari Augustin-Louis Cauchy. Tensor ini terdiri dari sembilan komponen $\sigma _{ij}$ yang mendefinisikan seluruh keadaan tegangan di suatu titik di dalam sebuah material yang mengalami deformasi. Tensor ini menghubungkan vektor arah satuan n kepada vektor traksi T⁽ⁿ⁾ yang melalui permukaan imajiner yang tegak lurus dengan n:

Komponen dari tegangan dalam tiga dimensi

$\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.$

di mana,

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]$

Satuan SI dari tensor tegangan dan vektor tegangan keduanya adalah N/m², bersesuaian dengan skalar tegangan. Vektor satuannya tidak berdimensi.

Tensor tegangan Cauchy mematuhi hukum transformasi tensor di bawah perubahan sistem koordinat. Representasi grafis dari hukum transformasi ini adalah lingkaran Mohr untuk tegangan.

Tensor tegangan Cauchy digunakan untuk menganalisa tegangan pada benda yang mengalami deformasi kecil. Tensor ini merupakan konsep inti dalam teori elastisitas linear. Untuk deformasi besar, juga disebut deformasi terhingga, ukuran tegangan lainnya dibutuhkan, seperti tensor tegangan Piola–Kirchhoff, tensor tegangan Biot, dan tensor tegangan Kirchhoff.

Berdasarkan hukum kekekalan momentum linear, jika suatu benda kontinuum sedang dalam kesetimbangan statis, maka bisa didemonstrasikan bahwa komponen tensor tegangan Cauchy di setiap titik materi dalam benda memenuhi persamaan kesetimbangan (persamaan gerak Cauchy untuk percepatan nol). Pada saat yang sama, menurut hukum kekekalan momentum sudut, kesetimbangan mengharuskan bahwa penjumlahan torsi terhadap titik manapun sama dengan nol, yang menghasilkan kesimpulan bahwa tensor tegangan bersifat simetris, sehingga hanya memiliki enam komponen tegangan saling lepas, bukannya sembilan. Akan tetapi, jika terdapat tegangan yang bertautan, yaitu torsi per satuan volume, tensor tegangan tidak bersifat simetris. Ini juga akan terjadi apabila bilangan Knudsen hampir sama dengan 1, $K_{n}\rightarrow 1$, atau kontinuumnya merupakan fluida non-Newton, yang bisa menghasilkan fluida yang rotasinya tidak invarian, seperti polimer.

Terdapat beberapa invarian yang berhubungan dengan tensor tegangan, yang nilainya tidak bergantung pada sistem koordinat yang dipilih, atau elemen luas yang menjadi letak beroperasinya tensor tegangan. Nilai-nilai tersebut adalah ketiga nilai eigen dari tensor tegangan, yang disebut tegangan utama.