Persamaan diferensial parsial

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

Posisi yang bagus sunting

Adanya solusi lokal sunting

Jenis umum PDP sunting

Persamaan diferensial parsial eliptik, parabola, dan hiperbolik orde dua telah mempelajari secara luas sejak awal abad ke-20. Namun, masih banyak jenis PDP yang sangat penting lainnya, termasuk persamaan Korteweg-de Vries. Hibrida Persamaan Euler-Tricomi, yang bervariasi dari eliptik ke hiperbolik untuk berbagai wilayah domain. Ada pula perluasan penting dari tipe dasar ini ke PDP tingkat tinggi, tetapi pengetahuan semacam itu lebih terspesialisasikan.

Klasifikasi tersebut memberikan panduan untuk kondisi awal dan batas yang sesuai dan untuk kelancaran solusi.

Solusi analitis sunting

Pemisahan variabel sunting

PDP linier dapat mengindetifikasi menjadi sistem persamaan diferensial biasa dengan teknik penting dengan pemisahan variabel. Teknik tersebut berpijak pada karakteristik dari solusi untuk persamaan diferensial. Kami berasumsi sebagai ansatz bahwa ketergantungan solusi pada keliling ruang dan waktu dapat dituliskan sebagai hasil kelompok masing tergantung pada satu keliling, kemudian dapat melihat apakah ini dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah.^[1]

Dalam metode pemisahan variabel, seseorang mengindetifikasi PDP menjadi PDP dalam variabel yang lebih sedikit, salah satu persamaan diferensial biasa ketika variabel tersebut gilirannya lebih mudah untuk dipecahkan.

Hal tersebut kemungkinan untuk PDP yanh sederhana, disebut pula persamaan diferensial parsial yang terpisahkan dan domain umum persegi panjang (hasil kali interval). PDP yang dapat memisahkan sesuai dengan hasil matriks diagonal dengan memikirkan "menetapkan nilai x" sebagai koordinat, setiap koordinat dapat dipahami secara terpisah.

Pada saat menggeneralisasi metode karakteristik dan juga digunakan dalam transformasi integral.

Solusi numerik sunting

Pengantar sunting

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

u(x,y)=f(y),\,

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

{\frac {du}{dx}}=0\,

yang memiliki solusi

u(x)=c,\,

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi $\!f(y)$ dapat ditentukan jika $\!u$ dispesifikasikan pada sebuah garis $\!x=0$ .

Keberadaan dan keunikan sunting

Meskipun masalah keberadaan dan keunikan solusi pada persamaan diferensial biasa memiliki jawaban yang sangat memuaskan menggunakan Teorema Picard-Lindelöf, yaitu kasus untuk persamaan diferensial parsial. Teorema Cauchy-Kowalevski menyatakan bahwa Masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial yang koefisien adalah Fungsi analitik dalam fungsi yang tidak diketahui. Meskipun hasil ini mungkin menyelesaikan keberadaan dan keunikan solusi, contoh persamaan diferensial parsial linier koefisiennya memiliki turunan dari semua pesanan tetapi tidak memiliki solusi sama sekali: lihat Lewy (1957).

Contoh perilaku patologis adalah urutan (tergantung pada $n$ ) Masalah Cauchy untuk Persamaan Laplace

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,

dengan syarat batas

{\begin{aligned}u(x,0)&=0,\\{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)&={\frac {\sin nx}{n}},\end{aligned}}

darimana $n$ adalah bilangan bulat.

Turunan dari $u$ adalah hubungan dengan $y$ yang mendekati nol dalam $x$ , tetapi solusinya adalah

u(x,y)={\frac {\sinh ny\sin nx}{n^{2}}}.

Notasi sunting

u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}

u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).

{\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u

atau

{\ddot {u}}=c^{2}\Delta u

daru $Δ$ adalah Operator Laplace.

Klasifikasi sunting

- Dalam pengembangan -

Pranala luar sunting

^ Gershenfeld, Neil (2000). The nature of mathematical modeling (edisi ke-Reprinted (with corr.)). Cambridge: Cambridge Univ. Press. hlm. 27. ISBN 0521570956.

[1] Gershenfeld, Neil (2000). The nature of mathematical modeling (edisi ke-Reprinted (with corr.)). Cambridge: Cambridge Univ. Press. hlm. 27. ISBN 0521570956.

[1]