Geodesik

Untuk geodesik pada Bumi, lihat geodesik pada sebuah elipsoid. Untuk geodesik dalam relativitas umum, lihat geodesik dalam relativitas umum. Untuk kegunaan lainnya, lihat Geodesik (disambiguasi).

Dalam geometri diferensial, geodesik (/ˌdʒiːəˈdɛsɪk, ˌdʒiːoʊ-, -ˈdiː-, -zɪk/)) adalah generalisasi gagasan "garis lurus" ke "ruang melengkung". Istilah "geodesik" berasal dari geodesi, ilmu mengukur ukuran dan bentuk Bumi; Dalam pengertian aslinya, geodesik adalah rute terpendek antara dua titik di permukaan Bumi, yaitu segmen lingkaran besar. Istilah ini telah digeneralisasi untuk mencakup pengukuran di ruang matematis yang jauh lebih umum; sebagai contoh, dalam teori graf, seseorang dapat mempertimbangkan geodesik antara dua simpul/simpul dari sebuah grafik.

Sebuah segitiga geodesik pada bola. Geodesik adalah busur lingkaran besar.

Pengantar

Jalur terpendek antara dua titik yang diberikan dalam ruang diasumsikan sejenis diferensial dapat mendefinisikan dengan cara menggunakan persamaan untuk panjang dari kurva (fungsi f dari interval terbuka dari R ke ruang dimensi lain) setelah itu kemudian meminimalkan panjang antara titik tersebut dengan menggunakan kalkulus variasi. Hal tersebut memiliki beberapa masalah teknis kecil karena ada ruang dengan berdimensi tak hingga dengan cara berbeda untuk membuat hasil keliling pada jalur terpendek. Lebih mudah untuk dibatasi beberapa pengumpulan kurva yang berparameter "dengan kecepatan konstan" 1 yang berarti jarak dari f ( s ) ( t ) sepanjang kurva sama dengan s - t. Secara setara, kuantitas yang berbeda dapat digunakan, disebut energi kurva; meminimalisasi kan energi yang menyebabkan persamaan yang sama untuk geodesik ("kecepatan konstan" adalah konsekuensi dari minimalisasi) Secara intuitif, seseorang dapat memahami formulasi kedua ini dengan mencatat bahwa sebuah pita elastis yang direntangkan di antara dua titik akan berkontraksi panjangnya, dan dengan demikian akan meminimalkan energinya. Bentuk pita yang dihasilkan adalah geodesik.

Ada kemungkinan bahwa beberapa kurva berbeda antara dua titik memperkecil jarak, seperti halnya dua titik yang berlawanan secara diametris pada sebuah bola. Dalam kasus seperti itu, salah satu kurva ini adalah geodesik.

Segmen yang berdekatan dari geodesik lagi lagi merupakan geodesik.

Secara umum, geodesik tidak sama dengan "kurva terpendek" antara dua titik, meskipun kedua konsep tersebut berkaitan erat. Perbedaannya adalah bahwa geodesik hanya merupakan jarak terdekat antar titik secara lokal , dan diparameterisasi dengan "kecepatan konstan". Saat melakukan "jalan memutar" pada lingkaran besar antara dua titik pada sebuah bola adalah geodesik tetapi bukan jalur terpendek antar titik. Terdapat rumus peta $t\to t^{2}$ dari interval satuan pada garis bilangan real ke dirinya sendiri memberikan jalur terpendek antara 0 dan 1, tetapi bukan merupakan geodesik karena kecepatan gerakan yang sesuai dari suatu titik tidak konstan.

Geodesik umumnya terlihat dalam studi Geometri Riemannian dan geometri metrik yang lebih umum. Dalam relativitas umum, geodesik dalam ruangwaktu menggambarkan gerakan partikel titik di bawah pengaruh gravitasi saja. Secara khusus, jalur yang diambil oleh batu yang jatuh, satelit yang mengorbit, atau membentuk orbit planet semuanya geodesik dalam ruangwaktu melengkung. Secara lebih umum, topik geometri sub-Riemannian berkaitan dengan jalur yang diambil objek saat mereka tidak bebas, dan pergerakannya dibatasi dalam berbagai cara.

Artikel ini menyajikan formalisme matematika yang terlibat dalam mendefinisikan, menemukan, dan membuktikan keberadaan geodesik, dalam kasus Manifold Riemannian dan Pseudo-Riemannian. Artikel geodesik (relativitas umum) membahas kasus khusus relativitas umum secara lebih rinci.

Contoh

Sebuah geodesik pada ellipsoid triaksial.

Jika seekor serangga ditempatkan di permukaan dan terus berjalan "maju", menurut definisi ia akan menelusuri geodesik.

Contoh yang paling dikenal adalah garis lurus dalam geometri Euclidean. Pada sebuah bola gambaran geodesik adalah lingkaran besar. Jalur terpendek dari titik A ke titik B pada sebuah bola diberikan oleh lebih pendek busur lingkaran besar yang melewati A dan B. Ketika A dan B adalah titik antipodal, maka ada banyak jalur terpendek di antara keduanya. Geodesik pada ellipsoid berperilaku lebih rumit daripada pada bola; secara khusus, mereka tidak tertutup secara umum (lihat gambar).

Geometri metrik

Dalam geometri metrik, geodesik adalah kurva yang di mana-mana secara lokal merupakan peminimal jarak. Lebih tepatnya, kurva γ : I → M dari interval I ke bilangan real ke ruang metrik M adalah geodesik jika ada konstanta v ≥ 0 sehingga untuk setiap t ∈ I ada lingkungan J dari t di I seperti bahwa untuk setiap t₁ t₂ ∈ J kita punya:

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.$

Hal tersebut menggeneralisasi pengertian geodesik untuk lipatan Riemannian. Namun dalam geometri metrik, geodesi yang dipertimbangkan sering kali dilengkapi dengan parameterisasi natural, yaitu pada identitas dan

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.$

Jika persamaan terakhir terpenuhi untuk semua t₁ t₂ ∈ I, maka geodesi disebut sebagai geodesik minimal atau jalur terpendek.

Secara umum, ruang metrik mungkin tidak memiliki geodesik, kecuali kurva konstan. Di sisi lain, dua titik dalam ruang metrik panjang digabungkan dengan urutan meminimalkan jalur yang dapat diperbaiki, meskipun urutan meminimalkan ini tidak perlu menyatu dengan geodesik.

Metode komputasi

Pemecah yang efisien untuk masalah geodesik minimal pada permukaan yang dianggap sebagai persamaan eikonal telah diusulkan oleh Kimmel dan lainnya.

Referensi

Daftar pustaka

• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Introduction to General Relativity (edisi ke-2nd), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000423-8 . See chapter 2.
• Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1 . See section 2.7.
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 . See section 1.4.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (edisi ke-New), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975), Classical Theory of Fields, Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9 . See section 87.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0 
• Ortín, Tomás (2004), Gravity and strings, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82475-0 . Perhatikan terutama halaman 7 dan 10.
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Geodesic line", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-92567-5 . See chapter 3.

Pranala luar

• Geodesics Revisited Diarsipkan 2013-02-03 di Wayback Machine. — Pengantar geodesik termasuk dua cara turunan dari persamaan geodesik dengan aplikasi dalam geometri (geodesik pada bola dan torus), mekanika (brakistokron) dan optik (berkas cahaya dalam medium non-homogen).
• Geodesics on a parametric surface -- sage interact Diarsipkan 2023-05-30 di Wayback Machine. — Lembar kerja interaktif SageMath untuk menghitung dan menggambarkan geodesik pada permukaan parametrik.
• Totally geodesic submanifold Diarsipkan 2015-08-10 di Wayback Machine. di Manifold Atlas