Deret Fourier

Deret Fourier (/ˈfʊrieɪ, -iər/) merupakan bentuk penguraian fungsi periodik berupa penjumlahan nilai gelombang sin dan cos. Frekuensi dari setiap gelombang dalam operasi penjumlahan (atau yang dikenal sebagai harmonisa) merupakan kelipatan interger terhadap frekuensi fundamental dari fungsi periodik. Setiap fase harmonisa dapat ditentukan dengan analisis harmonisa. Deret Fourier memiliki kemungkinan untuk memuat harmonisa dengan jumlah tak terhingga. Hasil penjumlahan bagian harmonisa dari deretan tersebut tidak selalu menghasilkan nilai pendekatan terhadap fungsi tersebut. Sebagai contoh, menggunakan beberapa harmonisa awal dari deret Fourier terhadap gelombang persegi akan menghasilkan nilai pendekatan dari gelombang persegi.

• 
  Nilai yang dihasilkan oleh penjumlahan enam titik (dilambangkan oleh titik merah) yang berbeda (dilambangkan oleh anak panah) dari deret Fourier akan menghasilkan sebuah nilai yang mendekati nilai dari gelombang persegi (dilambangkan oleh titik biru). Poros dari setiap anak panah terdapat pada jumlah dari seluruh nilai anak panah di kirinya.
• 
  Empat penjumlahan parsial pertama dari deret Fourier terhadap gelombang persegi. Semakin banyak harmonisa ditambahkan, penjumlahan parsial akan mendekati (semakin terlihat seperti) bentuk gelombang persegi.
• 
  Fungsi $s_{6}(x)$ (ditandai dengan warna merah) merupakan jumlah deret Fourier dari 6 harmonisa gelombang sin (warna biru). Fungsi tersebut bertranformasi menjadi domain representasi frekuensi $S(f)$ dengan nilai sebagai jumlah dari enam gelombang sin.

Transformasi Fourier
Transformasi Fourier lanjutan
Deret Fourier
Transformasi Fourier waktu diskrit
Transformasi Fourier diskrit
Transformasi Fourier diskrit dengan lebih cincin
Analisis Fourier
Transformasi terkait

Hampir semua fungsi periodik dapat diuraikan menjadi deret Fourier yang dapat berkonvergensi. Proses konvergensi deret Fourier berarti bahwa makin banyak harmonisa dari deret tersebut dijumlahkan, maka hasil dari operasi penjumlahan akan menghasilkan nilai pendekatan dari fungsi tersebut, dan akan memiliki nilai yang setara dengan fungsi tersebut ketika banyak dari harmonisanya tak terhingga.

Deret Fourier hanya dapat menguraikan fungsi periodikal. Akan tetapi, fungsi non periodik dapat juga diuraikan menggunakan ekstensi dari deret Fourier yang dikenal sebagai transformasi Fourier, operasi tersebut akan menguraikan fungsi non-periodik dengan periode tak terhingga. Kemudian, transformasi tersebut akan menghasilkan uraian domain frekuensi dari fungsi non-periodik dan fungsi periodik, hal tersebut akan memungkinkan bentuk gelombang untuk dikonversi diantara representasi domain waktu dan representasi domain frekuensinya.

Sejak zaman Fourier, banyak operasi nilai pendekatan berbeda untuk mendefinisikan dan memahami konsep deret Fourier telah ditemukan, semua dari operasi tersebut memiliki konsistensi terhadap operasi lainnua, tetapi masing-masing menekankan aspek topik yang berbeda. Beberapa pendekatan yang lebih kuat dan elegan didasarkan pada ide-ide dan alat-alat matematika yang tidak tersedia pada masa Fourier. Fourier pada awalnya mendefinisikan deret Fourier untuk fungsi bernilai rill dari argumen rill, dan menggunakan fungsi sinus dan kosinus sebagai sebuah kumpulan basis untuk operasi dekomposisi. Banyak metode transformasi Fourier telah didefinisikan, memperluas gagasan awal ke banyak pengaplikasian dan melahirkan sebuah cabang matematika baru yang dikenal sebagai analisis Fourier .

Definisi

Bagian pertama

Pertimbangkan fungsi bernilai nyata, $s(x)$, yang integrable dalam interval dengan panjang $P$, yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:

$x\in [0,1],$ dan $P=1.$

$x\in [-\pi ,\pi ],$ dan $P=2\pi .$

Analisis proses menentukan bobot, diindeks dengan integer $n$, yang merupakan jumlah siklus nilai $n^{\text{th}}$ harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan $x$, ialah $P/n$. Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah $n/P$. $n^{th}$ harmonik nilai $\sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)$ dan $\cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)$, dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang $P$:

Koefisien Fourier ${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx.\end{aligned}}$ (Eq.1)

• Jika nilai $s(x)$ ialah nilai $P$ dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
• Nilai $a_{0}$ dan $b_{0}$ dapat direduksi menjadi nilai $a_{0}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\,dx$ dan $b_{0}=0$.
• Banyaknya teks memilih nilai $P=2\pi$ untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

Bagian kedua

Proses sintesis (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

Deret Fourier, bentuk sinus-kosinus ${\begin{aligned}s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right).\end{aligned}}$ (Eq.2)

Secara umum, integer pada nilai $N$ secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama $s(x)$ di semua nilai $x$ (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.

Jika $s(t)$ adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang $P$ (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak ($A_{n}$) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari $s(t).$ Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik $s(t),$ sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis $s(t).$

Menggunakan identitas trigonometri:

$A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right),$

dan definisi nilai $A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ dan $\varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})$, pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:

Deret Fourier, bentuk fase amplitudo $s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right).$ (Eq.3)

Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks $s(x)$ (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan rumus Euler untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks. Di sini, konjugasi kompleks dilambangkan dengan tanda bintang:

${\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x}{P}}}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x}{P}}}.\end{array}}$

Oleh karena itu, dengan definisi:

$c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,$

hasil akhirnya adalah:

Deret Fourier, bentuk eksponensial $s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$ (Eq.4)

Konvergensi

Artikel utama: Konvergensi Deret Fourier

Dalam aplikasi rekayasa, deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika $s$ kontinu dan turunan dari $s(x)$ (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier $s$ menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai $s(x)$. Jika suatu fungsi adalah integral-persegi pada interval $[x_{0},x_{0}+P]$, kemudian deret Fourier menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu Kondisi dirichlet untuk deret Fourier. Lihat Konvergensi seri Fourier. Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau konvergensi lemah biasanya berupa inte.

• 
  Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang persegi meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku (animasi)
• 
  Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang gigi gergaji meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku (animasi)
• 
  Contoh konvergensi ke fungsi yang agak sewenang-wenang. Perhatikan perkembangan "dering" (fenomena Gibbs) pada transisi ke / dari bagian vertikal.

Animasi interaktif dapat dilihat lihat.

Contoh

Contoh 1: Deret Fourier sederhana

Plot dari gelombang gigi gergaji, kelanjutan periodik dari fungsi linier $s(x)=x/\pi$ on the interval $(-\pi ,\pi ]$

Plot animasi dari lima seri Fourier parsial pertama yang berurutan

Kami sekarang menggunakan rumus di atas untuk memberikan perluasan deret Fourier dari fungsi yang sangat sederhana. Pertimbangkan gelombang gigi gergaji

$s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,$

$s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .$

Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan oleh

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

Terbukti bahwa seri Fourier konvergen $s(x)$ di setiap titik $x$ dari mana $s$ dapat dibedakan, dan karenanya:

${\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}$

(Eq.7)

Kapan nilai $x=\pi$, deret Fourier bertemu dengan 0, yang merupakan penjumlahan separuh dari batas kiri dan kanan s pada nilai $x=\pi$. Ini adalah contoh khusus dari Teorema Dirichlet untuk deret Fourier.

Distribusi panas dalam pelat logam, menggunakan metode Fourier

Contoh ini mengarahkan kita ke solusi untuk Masalah Basel.

Contoh 2: Motivasi Fourier

Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai $s(x)=x/\pi$, jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan persamaan panas. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran $\pi$ meter, dengan koordinat $(x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$. Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai $y=\pi$, dipertahankan pada gradien suhu $T(x,\pi )=x$ derajat Celsius, untuk $x$ pada nilai $(0,\pi )$, maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh

$T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.$

Di sini, $\sinh$ adalah sebuah fungsi hiperbolik. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan  Eq.7 menurut nilai $\sinh(ny)/\sinh(n\pi )$.

Konvergen

Teorema

Misalkan $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ adalah fungsi yang periodik dengan periode $2\pi$, kontinu dan mulus bagian demi bagian. Maka, deret Fourier dari $f$ konvergen mutlak dan secara seragam pada $\mathbb {R}$.

Aplikasi lain

Aplikasi lain dari deret Fourier yaitu untuk menyelesaikan Masalah Basel dengan menggunakan Teorema Parseval. Contoh tersebut menggeneralisasi dan seseorang dapat menghitung ζ(2n), untuk bilangan bulat positif apa pun nilai n.

Properti

Tabel properti dasar

Tabel ini menunjukkan beberapa operasi matematika dalam domain waktu dan efek yang sesuai dalam koefisien deret Fourier. Notasi:

• $z^{*}$ adalah konjugasi kompleks dari fungsi $z$.
• $f(x),g(x)$ menunjuk $P$ -fungsi periodik yang ditentukan dari fungsi $0<x\leq P$.
• $F[n],G[n]$ tentukan koefisien deret Fourier (bentuk eksponensial) dari fungsi $f$ dan $g$ seperti yang didefinisikan dalam persamaan Eq.5.

Properti	Domain waktu	Domain frekuensi (bentuk eksponensial)	Catatan	Referensi
Linearitas	$a\cdot f(x)+b\cdot g(x)$	$a\cdot F[n]+b\cdot G[n]$	bilangan kompleks $a,b$
Pembalikan waktu / Pembalikan frekuensi	$f(-x)$	$F[-n]$		:p. 610
Konjugasi waktu	$f(x)^{*}$	$F[-n]^{*}$		:p. 610
Pembalikan waktu & konjugasi	$f(-x)^{*}$	$F[n]^{*}$
Bagian nyata dalam waktu	$\operatorname {Re} {(f(x))}$	${\frac {1}{2}}(F[n]+F[-n]^{*})$
Bagian waktu imajiner	$\operatorname {Im} {(f(x))}$	${\frac {1}{2i}}(F[n]-F[-n]^{*})$
Bagian nyata dalam frekuensi	${\frac {1}{2}}(f(x)+f(-x)^{*})$	$\operatorname {Re} {(F[n])}$
Bagian imajiner dalam frekuensi	${\frac {1}{2i}}(f(x)-f(-x)^{*})$	$\operatorname {Im} {(F[n])}$
Pergeseran waktu / modulasi frekuensi	$f(x-x_{0})$	$F[n]\cdot e^{-i{\frac {2\pi x_{0}}{T}}n}$	real number $x_{0}$	:p. 610
Pergeseran frekuensi / Modulasi dalam waktu	$f(x)\cdot e^{i{\frac {2\pi n_{0}}{T}}x}$	$F[n-n_{0}]\!$	integer $n_{0}$	:p. 610

Properti simetri

Ketika bagian nyata dan imajiner dari fungsi kompleks didekomposisi menjadi bagian genap dan ganjil, ada empat komponen, di bawah ini dilambangkan dengan subskrip RE, RO, IE, dan IO. Dan ada pemetaan satu-ke-satu antara empat komponen fungsi waktu kompleks dan empat komponen transformasi frekuensi kompleksnya:

${\begin{array}{rccccccccc}{\text{Domain waktu}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&if_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Domain frekuensi}}&F&=&F_{RE}&+&\overbrace {i\ F_{IO}} &+&i\ F_{IE}&+&F_{RO}\end{array}}$

Lemma Riemann–Lebesgue

Kalau $f$ adalah integrable dari nilai $\lim _{|n|\rightarrow \infty }{\hat {f}}(n)=0$, $\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$ and $\lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$ Hasil ini dikenal sebagai Riemann–Lebesgue lemma.

Properti turunan

Teorema Parseval

Jika $f$ Milik $L^{2}([-\pi ,\pi ])$, setelah itu $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx$.

Teorema Plancherel

Jika nilai $c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots$ adalah koefisien dan $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty$ lalu ada fungsi unik $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ seperti yang ${\hat {f}}(n)=c_{n}$ untuk setiap nilai $n$.

Teorema konvolusi

Grup kompak

Artikel utama: Kelompok kompak, Kelompok kebohongan, dan Teorema Peter–Weyl

Fungsi bernilai kompleks

Jika nilai $s(x)$ adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel nyata $x,$ kedua komponen (bagian nyata dan imajiner) adalah fungsi bernilai nyata yang dapat direpresentasikan oleh deret Fourier. Kedua kumpulan koefisien dan jumlah parsial diberikan oleh:

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$     and     $c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$

Mendefinisikan nilai $c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$ menghasilkan:

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$ (Eq.5)

Hal tersebut identik dengan Eq.4 selain nilai $c_{n}$ dan $c_{-n}$ bukan lagi konjugasi kompleks. Rumus untuk nilai $c_{n}$ juga tidak berubah:

${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx.\end{aligned}}$

Notasi umum lainnya

Notasi pada nilai $c_{n}$ tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda. Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi ($s$, dalam kasus ini), seperti ${\hat {s}}(n)$ atau $S[n]$, dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:

${\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}$

Representasi domain frekuensi lain yang umum digunakan menggunakan koefisien deret Fourier untuk memodulasi sisir Dirac:

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),$

dari mana $f$ mewakili domain frekuensi kontinu. Ketika variabel $x$ memiliki satuan detik, $f$ memiliki satuan hertz. "Gigi" sisir diberi jarak pada kelipatan (yaitu harmonik) dari nilai $1/P$, yang disebut frekuensi dasar.  $s_{\infty }(x)$  dapat dipulihkan dari representasi ini dengan transformasi Fourier terbalik:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}$

Fungsi yang dibangun pada nilai $S(f)$ oleh karena itu biasanya disebut sebagai Transformasi Fourier, meskipun integral Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen pada frekuensi harmonisa.

Referensi

Pranala luar

• Tutorial flash interaktif untuk deret Fourier Diarsipkan 2014-07-15 di Wayback Machine.
• Phasor Phactory Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
• Java applet Ekspansi deret Fourier untuk fungsi sembarang
• Example problems Diarsipkan 2008-04-10 di Wayback Machine. - Contoh perhitungan deret Fourier
• Fourier series explanation - pendekatan nonmatematis sederhana
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Fourier Series". MathWorld. 
• Modul deret Fourier oleh John H. Mathews
• Joseph Fourier Diarsipkan 2001-12-05 di Wayback Machine. - Situs web tentang riwayat Fourier historical section of this article
• SFU.ca - 'Teorema Fourier'
• In the bottom of this interactive lecture Diarsipkan 2008-12-06 di Wayback Machine., animasi Java yang menunjukkan bagaimana pengaruh terhadap deret Fourier bila suku orde ke-n+1 ditambahkan ke suku ke-n