Bilangan riil: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedimanullang (bicara | kontrib)
Tidak ada ringkasan suntingan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler
Menolak perubahan teks terakhir (oleh Dedimanullang) dan mengembalikan revisi 8402049 oleh JohnThorne
Baris 1:
[[Berkas:Latex real numbers.svg|thumb|100px|[[Simbol]] yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan '''bilangan riil''']]
BILANGAN RILL
'''Bilangan riil''' atau '''bilangan real''' dalam [[matematika]] menyatakan [[bilangan]] yang bisa dituliskan dalam bentuk [[desimal]], seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi [[bilangan rasional]], seperti 42 dan −23/129, dan [[bilangan irasional]], seperti π dan <math> \sqrt2 </math>. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.<ref name="schaum">{{cite book|title=Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut|last=Wrede|first=Robert|coauthors=Murray R. Spiegel|publisher=Penerbit Erlangga|year=2007|pages=1-2|chapter=Bilangan}}</ref>
 
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari [[deret Cauchy]] rasional, irisan Dedekind, dan [[deret Archimides]].
 
Bilangan riil ini berbeda dengan [[bilangan kompleks]] yang termasuk di dalamnya adalah [[bilangan imajiner]].
Pada abad ke-18 dan ke-19 ada banyak pekerjaan di bilangan irasional dan transendental. Johann Heinrich Lambert (1761) memberikan bukti cacat pertama yang π tidak dapat rasional; Adrien-Marie Legendre (1794) buktinya selesai ,  dan menunjukkan bahwa π bukanlah akar kuadrat dari bilangan rasional. Paolo Ruffini (1799) dan Niels Henrik Abel (1842) kedua bukti dibangun dari Abel- Ruffini teorema: bahwa secara umum persamaan quintic atau lebih tinggi tidak dapat diselesaikan dengan rumus umum hanya melibatkan operasi aritmatika dan akar.
 
[[Image:Real number line.svg|thumb|center|350px|Bilangan riil dapat dipahami sebagai titik-titik [[garis bilangan]] yang panjangnya tak terhingga.]]
Evariste Galois (1832) mengembangkan teknik untuk menentukan apakah persamaan yang diberikan dapat diselesaikan oleh radikal, yang memunculkan bidang teori Galois. Joseph Liouville (1840) menunjukkan bahwa baik e atau e2 bisa menjadi akar persamaan kuadrat bilangan bulat, dan kemudian mendirikan keberadaan nomor transendental, bukti yang kemudian yang dipindahkan [diperlukan klarifikasi] oleh Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) pertama membuktikan bahwa e adalah transendental, dan Ferdinand von Lindemann (1882), menunjukkan bahwa π  adalah transendental. Bukti Lindemann yang telah banyak disederhanakan oleh Weierstrass (1885), lebih jauh lagi dengan David Hilbert (1893), dan akhirnya telah dibuat dasar oleh Adolf Hurwitz dan Paul Gordan.
 
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat&nbsp;- dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting di [[abad ke-19]]. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedean unik yang keseluruhannya teratur lengkap {{nowrap|('''R''' ; + ; · ; <),}} sampai ke suatu isomorfisma,<ref>Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma ''unik'' di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan riil adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.</ref> sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk [[bilangan rasional]], irisan Dedekind, atau "representasi desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmatika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia [[matematika klasik]]
Perkembangan kalkulus di abad ke-18 yang digunakan seluruh himpunan bilangan real tanpa didefinisikan tersebut secara bersih. Definisi ketat pertama diberikan oleh Georg Cantor pada tahun 1871. Pada tahun 1874 ia menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan real adalah uncountably tak terbatas namun himpunan semua bilangan aljabar adalah countably tak terbatas. Berlawanan dengan keyakinan yang dipegang secara luas, metode pertama tidak argumen diagonal terkenal, yang diterbitkan pada pembuktian uncountability pertama 1891. Lihat Cantor
 
 
di terjemahkan Oleh: Rahmat Schnabel
 
Edit oleh :Dedi Manullang
 
<!--
The reals are [[uncountable set|uncountable]]; that is: while both the set of all [[natural number]]s and the set of all real numbers are [[infinite set]]s, there can be no [[one-to-one function]] from the real numbers to the natural numbers: the [[cardinality]] of the set of all real numbers (denoted <math>\mathfrak c</math> and called [[cardinality of the continuum]]) is strictly greater than the cardinality of the set of all natural numbers (denoted [[aleph number#Aleph-naught|<math>\aleph_0</math>]]). The statement that there is no subset of the reals with cardinality strictly greater than <math>\aleph_0</math> and strictly smaller than <math>\mathfrak c</math> is known as the [[continuum hypothesis]]. It is known to be neither provable nor refutable using the axioms of [[Zermelo–Fraenkel set theory]], the standard foundation of modern mathematics, provided ZF set theory is [[consistency|consistent]].
-->
== Sifat-sifat ==
=== Aksioma medan ===