|
== Motivasi ==
[[Berkas:Factorial interpolation.png|jempol|250px|Secara grafis, mudah untuk menginterpolasi fungsi faktorial ke nilai-nilai yang bukan bilangan bulat, tetapi adakah rumus yang menjelaskan kurva yang dihasilkan?]]
[[Image:Factorial interpolation.png|thumb|250px|It is easy graphically to interpolate the factorial function to non-integer values, but is there a formula that describes the resulting curve?]]
Fungsi gamma dapat dipandang sebagai solusi bagi persoalan [[interpolasi]] berikut ini:
The gamma function can be seen as a solution to the following [[interpolation]] problem:
: "FindTentukanlah asebuah [[smoothlipatan curveterdiferensialkan|kurva mulus]] thatyang connectsmenghubungkan the pointstitik-titik (''x'', ''y'') givenyang diberikan byoleh ''y'' = (''x'' − 1)<nowiki>!</nowiki> atpada thenilai-nilai positivebilangan integerbulat valuespositif foruntuk ''x''."
Plot beberapa faktorial pertama memperjelas bahwa kurva tersebut dapat dilukis, tetapi akan lebih baik jika diketahui sebuah rumus yang secara tepat menggambarkan kurva tersebut, di mana banyaknya operasi tidak bergantung kepada ukuran ''x''. Rumus sederhana untuk faktorial, ''n''<nowiki>!</nowiki> = 1 × 2 × … × ''n'', tidak dapat digunakan secara langsung untuk nilai-nilai pecahan ''x'' karena ia hanya akan sahih ketika ''x'' merupakan [[bilangan asli]] (''yakni'', bilangan bulat positif). Tidak terdapat solusi sederhana untuk faktorial; sembarang paduan perjumlahan, perkalian, perpangkatan, [[fungsi eksponensial]], atau [[logaritma]] dengan sebuah bilangan tetap dari suku-suku yang terlibat tidak akan cukup untuk menyatakan ''x''<nowiki>!</nowiki>. [[Hampiran Stirling]] secara asimtotik sama dengan fungsi faktorial untuk nilai x yang cukup besar. Adalah dimungkinkan untuk menentukan rumus umum faktorial dengan menggunakan alat seperti [[integral]] dan [[limit]] dari [[kalkulus]]. Solusi yang baik untuk masalah ini adalah fungsi gamma.
A plot of the first few factorials makes clear that such a curve can be drawn, but it would be preferable to have a formula that precisely describes the curve, in which the number of operations does not depend on the size of ''x''. The simple formula for the factorial, ''n''<nowiki>!</nowiki> = 1 × 2 × … × ''n'', cannot be used directly for fractional values of ''x'' since it is only valid when ''x'' is a [[natural number]] (''i.e.'', a positive integer).
There are, relatively speaking, no such simple solutions for factorials; any combination of sums, products, powers, [[exponential function]]s, or [[logarithm]]s with a fixed number of terms will not suffice to express ''x''<nowiki>!</nowiki>. [[Stirling's approximation]] is asymptotically equal to the factorial function for large values of x. It is possible to find a general formula for factorials using tools such as [[integral]]s and [[limit of a function|limit]]s from [[calculus]]. A good solution to this is the gamma function.
Terdapat tak-hingga banyaknya perluasan kontinu faktorial ke bilangan-bilangan takbulat: terdapat tak-hingga banyaknya kurva yang dapat dilukis melalui sembarang himpunan titik-titik yang terkucil. Fungsi gamma adalah solusi yang paling praktis, bersifat [[fungsi analitik|analitik]] (kecuali untuk bilangan bulat tak-positif), dan fungsi gamma dapat dikarakterisasi dalam beberapa cara. Meskipun demikian, fungsi gamma bukanlah satu-satunya fungsi analitik yang memperluas faktorial, karena jika dilakukan penambahan sembarang fungsi analitik yakni nol pada bilangan bulat positif akan memberi fungsi lain dengan sifat itu.
There are infinitely many continuous extensions of the factorial to non-integers: infinitely many curves can be drawn through any set of isolated points. The gamma function is the most useful solution in practice, being [[analytic function|analytic]] (except at the non-positive integers), and it can be characterized in several ways. However, it is not the only analytic function which extends the factorial, as adding to it any analytic function which is zero on the positive integers will give another function with that property.
:<math>\begin{align}
\end{align}</math>
foruntuk ''x'' equalyang tosama anydengan positivebilangan real numberpositif. The [[Bohr–MollerupTeorema theoremBohr–Mollerup]] provesmembuktikan thatbahwa thesesifat-sifat propertiesini, togetherbersama-sama withdengan theasumsi assumption thatbahwa ''f'' be [[logarithmicallykonveks convexlogaritmik]] (akaalias: "superconvexsuperkonveks"<ref>Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.</ref>), uniquely determinemenentukan ''f'' forsecara positive,unik untuk ''input'' bilangan real inputspositif. FromDari theresana, thefungsi gamma functiondapat candiperluas beke extended to allnilai-nilai real and complexdan valueskompleks (exceptkecuali thebilangan negativebulat integersnegatif anddan zeronol) bydengan using the uniquemenggunakan [[analytickekontinuan continuationanalitik]] of ''f'' yang unik.
-->
== Definisi ==
| 