Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k mengembangkan artikel |
k →Generalisasi: mengembangkan |
||
Baris 11:
== Generalisasi ==
Contoh berikut mengilustrasikan generalisasi daripada teorema Rolle:
Perhatikan fungsi riil, kontinu dalam selang tertutup [''a'', ''b''] dengan ''f''(''a'') = ''f''(''b''). Bila untuk setiap ''x'' dalam selang terbuka (''a'',''b'') limit kanan
:<math>f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
dan limit kiri
:<math>f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
ada pada garis bilangan riil yang diperluas [−∞,∞], maka ada suatu bilangan ''c'' pada selang terbuka (''a'',''b'') sehingga salah satu dari dua limit
:<math>f'(c+)\quad\text{and}\quad f'(c-)</math>
adalah ≥ 0 dan yang lainnya adalah ≤ 0 (pada garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''x'', maka limit ini sama pada khususnya untuk ''c''. Jadi turunan ''f'' ada pada ''c'' dan sama dengan nol.
=== Komentar ===
#Bila ''f'' adalah cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada pada setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil
#Versi yang digeneralisasi ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan searah naik monoton:
<ref>
{{cite book
| last = Artin
| first = Emil
| authorlink = Emil Artin
| others = trans. Michael Butler
| title = The Gamma Function
| origyear = 1931
| year = 1964
| publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]]
| pages = 3–4 }}
</ref>
::<math>f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x < y.</math>
== Pranala luar ==
| |||