Diferensial fungsi: Perbedaan antara revisi

Dalam [[kalkulus]], '''diferensial''' mewakili [[Bagian utama#Kalkulus|bagian utama]] dari perubahan dalam sebuah fungsi <math>y = f(x)</math> terhadap perubahan dalam variabel bebas. Diferensial <math>\mathrm{d}y</math> didefinisikan oleh

 

 

dimana <math>f'(x)</math> merupakan turunan <math>f</math> terhadap <math>x</math>, dan <math>\mathrm{d}x</math> merupakan sebuah [[Peubah (matematika)|peubah]] real tambahan (sehingga <math>\mathrm{d}y</math> merupakan sebuah fungsi dari <math>x</math> dan <math>\mathrm{d}x</math>). Notasinya sehingga persamaan

 

 

berlaku, dimana turunan diwakili dalam [[notasi Leibniz]] <math display="inline">\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>, dan ini sesuai dengan mengenai turunan sebagai hasil bagi dari diferensial. Salah satunya juga menulis

 

 

Arti yang tepat dari variabel <math>\mathrm{d}y</math> dan <math>\mathrm{d}x</math> bergantung pada konteks dari penerapan dan aras yang dibutuhkan dari ketelitian matematis. Ranah dari variabel ini dapat diambil pada sebuah arti penting geometris khusus jiak diferensial dianggap sebagai sebuah [[bentuk diferensial]] khusus, atau arti penting analitis jika diferensial dianggap sebagai sebuah [[aproksimasi linear]] ke riapan fungsi. Secara tradisional, variabel <math>\mathrm{d}x</math> dan <math>\mathrm{d}y</math> dianggap menjadi lebih kecil ([[infinitesimal]]), dan interpretasi ini dibuat teliti dalam [[analisis takstandar]].

Diferensial diperkenalkan pertama kali melalui sebuah intuitif atua definisi heuristik oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], yang berpikir mengenai diferensial <math>\mathrm{d}y</math> sebagai sebuah perubahan yang sangat kecil (atau [[infinitesimal]]) dalam nilai <math>y</math> dari fungsi, padanan ke sebuah perubahan yang sangat kecil <math>\mathrm{d}x</math> dalam argumen fungsi <math>x</math>. Untuk alasan tersebut, laju seketika dari perubahan <math>y</math> terhadap <math>x</math>, yang nilai dari [[turunan]] dari fungsi, dilambangkan oleh pecahan

 

 

dalam apa yang disebut [[notasi Leibniz]] untuk turunan. Hasil bagi <math display="inline">\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math> sangat tidak kecil, daripadanya merupakan sebuah [[bilangan real]].

Penggunaan infintesimal dalam bentuk ini dikritik secara luas, sebagai contohnya oleh selebaran yang terkenal, [[The Analyst]] oleh Bishop Berkeley. [[Augustin-Louis Cauchy]] ([[Diferensial fungsi#CITEREFCauchy1823|1823]]) mendefinisikan diferensial tanpa mengajukan banding dengan atomisme dari infinitesimal Leibniz.<ref>Untuk sebuah akun bersejarah terperinci mengenai diferensial, lihat {{harvnb|Boyer|1959}}, termasuk di hlm. 275 untuk kontribusi Cauchy pada subjek. Sebuah akun yang disingkat muncul di {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy dengan tegas menolak kemungkinan mengenai infinitesimal dan kuantitas takhingga yang sebenarnya {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, dan mengambil sudut pandang yang berbeda secara radikal bahwa "sebuah kuantitas peubah menjadi sangat kecil ketika nilai numeriknya menurun tanpa batas sedemikian rupa seiring konvergen menuju nol" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}}; penerjemah dari {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> Malahan, Cauchy, mengikuti [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]], membalikkan urutan logis Leibniz dan penerusnya, turunan itu sendiri menjadi objek fundamental, didefinisikan sebagai sebuah [[limit]] hasil bagi beda, dan diferensialnya kemudian didefiniskan dalam istilah darinya. Yakni, salah satunya bebas ''mendefinisikan'' diferensial <math>\mathrm{d}y</math> dengan sebuah ekspresi

 

 

di mana <math>\mathrm{d}y</math> dan <math>\mathrm{d}x</math> merupakan variabel baru sederhana yang mengambil nilai real terhingga,<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}</ref> bukan infintesimal tetap seperti yang dilakukan oleh Leibniz.<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: "Diferensial sebagai demikian didefinisikan hanya ''peubah'' baru, dan bukan infinitesimal tetap..."</ref>

Diferensial didefinisikan dalam perlakuan modern kalkulus diferensial sebagai berikut.<ref>Lihat, sebagai contoh, perjanjian yang berpengaruh dari {{harvnb|Courant|1937a}}, {{harvnb|Kline|1977}}, {{harvnb|Goursat|1904}}, dan {{harvnb|Hardy|1905}}. Sumber tersier untuk definisi ini termasuk juga {{harvnb|Tolstov|2001}} dan {{harvnb|Itô|1993|loc=§106}}.</ref> Diferensial fungsi <math>f(x)</math> dari sebuah peubah real tunggal <math>x</math> merupakan fungsi <math>\mathrm{d}f</math> dari dua peubah real bebas <math>x</math> dan <math>\Delta x</math> diberikan oleh

 

 

Satu atau dua dari argumen dapat ditekan, yaitu, salah satunya dapat melihat <math>\mathrm{d}f(x)</math> atau menyederhanakan <math>\mathrm{d}f</math>. Jika <math>y = f(x)</math>, diferensial juga dapat ditulis sebagai <math>\mathrm{d}y</math>. Karena <math>\mathrm{d}x(x,\Delta x) = \Delta x</math>, ini konvensional untuk menulis <math>\mathrm{d}x = \Delta x</math>, jadi bahwa persamaan berikut berlaku:

 

 

Gagasan ini yang mengenai diferensial dapat diterapkan secara luas ketika sebuah [[aproksimasi linear]] untuk sebuah fungsi dicari, yang mana nilai dari riapan <math>\Delta x</math> cukup kecil. Lebih tepatnya, jika <math>f</math> merupakan sebuah [[fungsi terdiferensialkan]] pada <math>x</math>, maka bedanya dalam nilai-<math>y</math>

 

 

memenuhi

 

 

dimana galat <math>\varepsilon</math> dalam aproksimasi memenuhi <math>\varepsilon/\Delta x \to 0</math> ketika <math>\Delta x \to 0</math>. Dengan kata lain, salah satunya memiliki identitas aproksimasi

 

 

yang mana galatnya dapat dibuat sekecil yang diinginkan yang berkaitan dengan <math>\Delta x</math> dengan menghambat <math>\Delta x</math> menjadi cukup kecil, hal tersebut dikatakan,

 

 

ketika <math>\Delta x \to 0</math>. Untuk alasan ini, diferensial fungsi dikenal sebagai [[Bagian utama|bagian (linear) utama]] dalam riapan fungsi: diferensial merupakan sebuah fungsi linear dari riapan <math>\Delta x</math>, dan meskipun galat <math>\varepsilon</math> dapat menjadi taklinear, ini cenderung ke nol dengan cepat ketika <math>\Delta x</math> cenderung ke nol.

Diikuti {{harvtxt|Goursat|1904|loc=I, §15}}, untuk fungsi yang lebih dari satu variabel bebas,

 

 

'''diferensial parsial''' <math>y</math> terhadap salah satu dari variabel <math>x_1</math> adalah bagian utama dari perubahan dalam <math>y</math> dihasilkan dari sebuah perubahan <math>\mathrm{d}x_1</math> dalam satu variabel tersebut. Diferensial parsial adalah

 

 

melibatkan [[turunan parsial]] <math>y</math> terhadap <math>x_1</math>. Jumlah dari diferensial parsial terhadap semua dari variabel beas merupakan '''diferensial total'''

 

 

di mana bagian utama dari perubahan <math>y</math> dihasilkan dari perubahan dalam variabel bebas <math>x_i</math>.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multipeubah, diikuti {{harvtxt|Courant|1937b}}, jika <math>f</math> merupakan fungsi terdiferensialkan, maka oleh [[Turunan Fréchet|definisi dari keterdiferensialan]], riapan

 

\Delta y &{}\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\

&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n

dimana istilah galat <math>\varepsilon</math> cenderung ke nol sebagai riapan <math>\Delta x_i</math> bersama-sama cenderung ke nol. Diferensial total kemudian dengan teliti didefinisikan sebagai

 

 

Karena, dengan definisi ini,

 

 

salah satunya memiliki

 

 

Seperti dalam kasus satu variabel, identitas hampirannya berlaku

 

 

yang mana galat total dapat dibuat sekecil mungkin berkaitan dengan <math>\sqrt{\Delta x_1 ^2 + \dots + \Delta x_n^2}</math> dengan membatasi perhatian untuk riapan kecil yang cukup.

Dalam pengukuran, diferensial total digunakan dalam [[Analisis ketaktentuan percobaan|pendugaan galat]] <math>\Delta f</math> fungsi <math>f</math> berdasarkan galat <math>\Delta x, \Delta y, \dots</math> dari parameter <math>x,y,\dots</math>. Asumsi bahwa selangnya cukup pendek untuk perubahan menjadi hampir linear

 

 

dan bahwa semua peubah adalah bebas, maka untuk semua peubah,

 

 

Ini dikarenakan turunan <math>f_x</math> terhadap parameter khusus <math>x</math> memberikan kepekaan dari fungsi <math>f</math> untuk sebuah perubahan dalam <math>x</math>, khususnya galat <math>\Delta x</math>. Karena mereka diasumsikan menjadi bebas, analisisnya menjelaskan skenario terburuk. Nilai mutlak dari galat komponen digunakan, karena setelah penghitungan yang sederhana, turunan dapat memiliki sebuah tanda negatif. Dari prinsip ini, kaidah galat penjumlahan, perkalian, dst. diturunkan, yakni:

dan, umumnya,

 

 

Secara informal, ini memotivasi notasi Leibniz untuk turunan tingkat tinggi

 

 

Ketika peubah bebas <math>x </math> itu sendiri boleh bergantung pada peubah lainnya, maka ekspresinya menjadi lebih rumit, karena ini juga harus termasuk diferensial tingkat tinggi di <math>x</math> itu sendiri. Demikian, sebagai contohnya,

 

\mathrm{d}^2 y &= f''(x)\,(\mathrm{d}x)^2 + f'(x)\mathrm{d}^2x\\

\mathrm{d}^3 y &= f'''(x)\, (\mathrm{d}x)^3 + 3f''(x)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}^2x + f'(x)\mathrm{d}^3x

Anggapan yang serupa berlaku untuk mendefinisikan diferensial fungsi tingkat tinggi beberapa peubah. Contohnya, jika <math>f </math> merupakan sebuah fungsi dua variabel <math>x </math> dan <math>y </math>, maka

 

 

dimana <math>\binom{n}{k}</math> merupakan sebuah [[koefisien binomial]]. Dalam variabel yang lebih banyak, sebuah ekspresi yang sepadan berlaku, tetapi dengan sebuah ekspansi [[Koefisien UEFA|multinomial]] daripada ekspansi binomial.<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}</ref>

Diferensial tingkat tinggi dalam beberapa peubah juga menjadi lebih rumit ketika peubah bebasnya sendiri dimungkinkan untuk bergantung pada peubah lain. Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi <math>f </math> dari <math>x </math> dan <math>y </math> yang dimungkinkan untuk bergantung pada peubah bantu, salah satunya memiliki

 

 

Karena ketidakpatutan notasional ini, penggunaan diferensial tingkat tinggi dikritisi terus terang oleh {{harvnb|Hadamard|1935}}, yang menyimpulkan:

Dalam konteks-konteks ini, diferensial order ke-<math>n</math> dari fungsi <math>f </math> berlaku dengan sebuah riapan <math>\Delta x </math> didefinisikan oleh

 

 

atau sebuah ekspresi yang setara, seperti

 

 

dimana <math>\Delta^n_{t \Delta x} f</math> merupakan sebuah [[beda maju]] ke-<math>n</math> dengan riapan <math>t\Delta x</math>.

Definisi ini masuk akal juga jika <math>f </math> merupakan sebuah fungsi dari beberapa peubah (untuk kesederhanaan diambil disini sebagai sebuah argumen vektor). Kemudian diferensial ke-<math>n</math> didefinisikan dalam hal ini merupakan sebuah [[fungsi homogen]] derajat <math>n</math> dalam riapan vektor <math>\Delta x </math>. Lebih lanjut, [[deret Taylor]] dari <math>f </math> pada titik <math> x</math> diberikan oleh

 

 

[[Turunan Gateaux]] tingkat tinggi merampat anggapan-anggapan ini untuk ruang dimensi takhingga.

* [[Kaidah darab]]: Untuk dua fungsi terdiferensialkan <math>f </math> dan <math>g</math>,

 

 

Sebuah operasi <math>\mathrm{d}</math> dengan dua sifat-sifat ini dikenal dalam [[aljabar abstrak]] sebagai sebuah [[Penurunan (aljabar abstrak)|penurunan]]. Mereka menyiratkan kaidah pangkat

 

 

Sebagai tambahan, berbagai bentuk dari [[kaidah rantai]] berlaku, dalam meningkatkan aras keumuman.<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §§14,16}}</ref>

* Jika <math>y = f(u)</math> merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah <math>u</math> dan <math>u = g(x)</math> merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah, maka

 

 

* Jika <math>y = f(x_1,\dots,x_n)</math> dan semua dari peubah <math>x_1,\dots,x_n</math> bergantung pada peubah lain <math>t</math>, maka oleh kaidah rantai untuk turunan parsial, salah satunya memiliki

 

\mathrm{d}y &= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t \\

&= \frac{\partial y}{\partial x_1} \mathrm{d}x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \mathrm{d}x_n\\

Sebuah gagasan konsisten mengenai diferensial dapat dikembangkan untuk sebuah fungsi <math>f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> di antara dua [[Ruang Euklides|ruang Euclides]]. Misalkan <math>\mathbf{x}, \Delta \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> menjadi sebuah pasangan [[vektor Euclides]]. Riapan dalam fungsi <math>f </math> adalah

 

 

Jika terdapat sebuah [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>A</math> dengan ukuran <math>m \times n</math> sehingga

 

 

di mana vektor <math>\boldsymbol{\varepsilon} \to 0</math> sebagai <math>\Delta \mathbf{x} \to 0</math>, maka <math>f </math> oleh definisi terdiferensialkan pada titik <math>\mathbf{x}</math>. Matriks <math>A</math> terkadang dikenal sebagia [[matriks Jacobi]], dan [[transformasi linear]] yang mengaitkan ke riapan <math>\Delta \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math>, vektor <math>A \Delta \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dalam pengaturan umum, dikenal sebagai diferensial <math>\mathrm{d}f(x) </math> dari <math>f </math> pada titik <math>x </math>. Ini tepatnya [[turunan Fréchet]], dan konstruksi yang sama dapat dibuat bekerja untuk sebuah fungsi di antara suatu [[ruang Banach]].

Sudut pandang bermanfaat lainnya adalah mendefinisikan diferensial secara langsung sebagai sebuah jenis mengenai [[turunan berarah]]:

 

 

yang mana pendekatannya sudah diambil untuk mendefinisikan diferensial tingkat tinggi (dan hampir semua definisi yang ditetapkan oleh Cauchy). Jika <math>t </math> mewakili waktu dan <math>\mathbf{x} </math> posisi, maka <math>\mathbf{h}</math> mewakili sebuah kecepatan sebagai ganti sebuah perpindahan seperti yang kita miliki sampai sekarang dianggapnya. Ini menghasilkan perbaikan lagi dari gagasan mengenai diferensial; yang seharusnya menjadi sebuah fungsi linear kecepatan kinematik. Himpunan semua kecepatan melalui sebuah titik ruang yang diberikan dikenal sebagai sebuah [[ruang garis singgung]]; dan juga <math> \mathrm{d}f</math> memberikan sebuah fungsi linear pada ruang garis singgung: sebuah [[bentuk diferensial]]. Dengan interpretasi ini, diferensial dari <math>f </math> dikenal sebagai [[turunan luar]], dan memiliki penerapan yang luas dalam [[geometri diferensial]] karena gagasan mengenai kecepatan dan ruang garis singgung masuk akal pada suatu [[manifold terdiferensialkan]]. Jika, sebagai tambahan, nilai keluaran dari <math> \mathrm{d}f</math> harus sebuah kecepatan. Jika salah satunya memperlakukan diferensial dalam perilaku ini, maka ini dikenal sebagai [[Pushforward (diferensial)|''pushforward'']] ([[:en:Pushforward_(differential)|en]]) karena ini "mendorong" kecepatan dari sebuah ruang sumber menjadi kecepatan dalam sebuah ruang sasaran.

Diferensial dapat menjadi secara efektif digunakan dalam [[analisis numerik]] untuk mempelajari perambatan mengenai galat percobaan dalam sebuah perhitungan, dan demikian [[kestabilan numeris]] secara keseluruhan dari sebuah masalah {{harv|Courant|1937a}}. Andaikan bahwa peubah <math> x </math> mewakili hasil percobaan dan <math> y</math> merupakan hasil komputasi numeris yang berlaku dengan <math> x </math>. Pertanyaannya adalah dengan apakah galat luasnya dalam pengukuran <math> x </math> mempengaruhi nilai dari komputasi <math> y</math>. Jika <math> x </math> dikenal oleh <math> \Delta x</math> dari nilai kebenarannya, maka [[teorema Taylor]] memberikan dugaan pada galat <math> \Delta y</math> dalam komputasi <math> y</math>:

 

 

dimana <math>\xi = x + \theta \Delta x</math> untuk suatu <math>0 < \theta < 1</math>. Jika <math> \Delta x</math> kecil, maka suku orde kedua diabaikan, sehingga <math> \Delta y</math>, untuk tujuan praktis, perkiraan oleh <math>\mathrm{d}y = f'(x) \, \Delta x</math>.

Diferensial seringkali berguna untuk menulis ulang sebuah [[persamaan diferensial]].

 

 

dalam bentuk

 

 

..., khususnya ketika salah satunya untuk [[Pemisahan variabel|memisahkan peubah]].