Grup Lie: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 83:
Grup <math>H</math> adalah contoh gelanggang dari "[[#Subgrup Lie|subgrup Lie]]" dari grup Lie yang tidak tertutup. Lihat pembahasan subgrup Lie di bawah ini pada bagian tentang konsep dasar.
== Lebih banyak contoh dari grup Lie ==
{{see also|Tabel grup Lie|Daftar grup Lie sederhana}}
Grup Lie terdapat di seluruh materi matematika dan fisika. [[Grup matriks]] atau [[grup aljabar]] adalah grup matriks, misalnya: [[grup ortogonal|ortogonal]] dan [[grup simplektis]], dan ini memberikan sebagian besar yang umum contoh dari Lie.
=== Dimensi satu dan dua ===
Salah satu grup Lie yang terhubung dengan dimensi satu adalah garis riil <math>\mathbb{R}</math> dengan operasi grup menjadi penjumlahan dan [[grup lingkaran]] <math>S^1</math> bilangan kompleks dengan nilai absolut satu dengan operasi grup menjadi perkalian. <math>S^1</math> grup dilambangkan sebagai <math>U(1)</math> sebagai grup matriks uniter <math>1\times 1</math>.
Dalam dua dimensi, jika membatasi hanya pada grup yang terhubung, maka diklasifikasikan oleh aljabar Lie. Ada (hingga isomorfisme) hanya dua aljabar Lie berdimensi dua. Grup Lie yang terhubung secara sederhana adalah <math>\mathbb{R}^2</math> dengan operasi grup sebagai penjumlahan vektor dan grup affin dalam dimensi satu, dijelaskan di sub-bagian sebelumnya di bawah "contoh pertama".
=== Contoh tambahan ===
* [[Grup uniter khusus#n_.3D_2|Grup SU(2)]] adalah grup matriks uniter <math>2\times 2</math> dengan determinan <math>1</math>. Secara topologis, <math>\text{SU}(2)</math> adalah bola-<math>3</math> oleh <math>S^3</math>; sebagai grup diidentifikasikan dengan grup unit [[kuaternion]].
* [[Grup Heisenberg]] adalah grup dimensi [[grup nilpoten|nilpoten]] menghubungkan <math>3</math> yang memainkan peran kunci dalam [[mekanika kuantum]].
* [[Gru0 Lorentz]] adalah grup Lie 6 dimensi dari [[isometri]] dari [[ruang Minkowski]].
* [[Grup Poincaré]] adalah grup Lie 10 dimensi dari isometri [[transformasi affin|affin]] dari ruang Minkowski.
* [[Grup Lie eksepsional]] tipe [[G2 (matematika)|''G''<sub>2</sub>]], [[F4 (matematika)|''F''<sub>4</sub>]], [[E6 (matematika)|''E''<sub>6</sub>]], [[E7 (matematika)|''E''<sub>7</sub>]], [[E8 (matematika)|''E''<sub>8</sub>]] memiliki dimensi 14, 52, 78, 133, dan 248. Dengan deret A-B-C-D [[grup Lie sederhana]], grup eksepsional melengkapi daftar grup Lie sederhana.
* [[Grup simplektik]] <math>\text{Sp}(2n,\mathbb{R})</math> terdiri dari semua <math>2n \times 2n</math> matriks mempererat ''[[bentuk simplektis]]'' dalam <math>\mathbb{R}^{2n}</math>. Ini disebut sebagai grup dimensi Lie yang menghubungkan <math>2n^2 + n</math>.
=== Konstruksi ===
Ada beberapa cara standar untuk membentuk grup Lie yang baru dari lama:
* Produk dari dua grup Lie adalah grup Lie.
* Setiap subgrup [[himpunan tertutup|topologi tertutup]] dari grup Lie adalah grup Lie. Ini dikenal sebagai [[Teorema subgrup tertutup]] atau '''teorema Cartan'''.
* Hasil bagi dari grup Lie oleh subgrup normal tertutup adalah grup Lie.
* [[Sampul universal]] dari grup Lie yang terhubung adalah grup Lie. Misalnya, grup <math>\mathbb{R}</math> adalah sampul universal grup lingkaran <math>S^1</math>. Faktanya, setiap simpul dari lipatan yang dapat dibedakan juga merupakan lipatan yang dapat dibedakan, tetapi dengan menentukan sampul ''universal'' untuk struktur grup (kompatibel dengan struktur lainnya).
=== Pengertian terkait ===
Beberapa contoh grup yang ''bukan'' grup Lie (kecuali dalam pengertian solvabel bahwa setiap grup banyak<!-- menurut konvensi, lipatan dihitung kedua jadi kita perlu mengecualikan himpunan yang tidak dihitung --> dapat dilihat sebagai grup Lie 0 dimensi, dengan [[topologi diskrit]]), adalah:
* Gugus berdimensi tak hingga merupakan grup aditif ruang vektor riil berdimensi tak hingga, atau ruang fungsi halus dari lipatan <math>X</math> ke grup Lie <math>G</math>, <math>C^\infty(X,G)</math>. Ini bukan grup Lie karena bukan lipatan "berdimensi-hingga".
* Beberapa [[grup total putusan]] merupakan [[grup Galois]] dengan ekstensi tak hingga bidang, atau grup aditif dari bilangan ''p''-adik. Ini bukan grup Lie karena ruang dasarnya bukan lipatan riil. Beberapa dari grup ini adalah "grup Lie ''p''-adik". Secara umum, l grup topologi yang memiliki kesamaan [[sifat lokal|sifat lokal]] '''R'''<sup>''n''</sup> untuk beberapa bilangan bulat positif ''n'' dapat berupa grup Lie (tentu harus memiliki struktur yang dibedakan).
== Konsep dasar ==
| |||