Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 54:
== Sifat-sifat ==
=== Sifat komutatif ===
[[
Penambahan bersifat [[sifat komutatif|komutatif]], berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jika ''x'' dan ''y'' adalah sembarang bilangan, maka
:<math>x + y = y + x</math>.
Baris 77:
=== Satuan ===
Untuk menambahkan [[kuantitas fisik|kuantitas-kuantitas fisik]] dengan [[satuan]], kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama.<ref>R. Fierro (2012) ''Mathematics for Elementary School Teachers''. Cengage Learning. Sec 2.3</ref> Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar dari [[analisis dimensi]].
== Cara penambahan ==
=== Kemampuan bawaan ===
Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena [[pembiasaan]]: [[infant]] melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga.<ref>Wynn p. 5</ref> Percobaan tersebut dimulai oleh [[Karen Wynn]] pada tahun 1992 yang melibatkan boneka [[Mickey Mouse]] yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap' {{nowrap|1 + 1}} menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa {{nowrap|1 + 1}} bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda.<ref>Wynn p. 15</ref> Eksperimen tahun 1992 lainnya dengan [[balita]] yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bola [[ping-pong]] dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.<ref>Wynn p. 17</ref>
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama [[primata]]. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan [[terong]] sebagai pengganti boneka), [[monyet rhesus]] dan [[cottontop tamarin]] memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dari [[angka Arab]] 0 hingga 4, satu [[simpanse]] dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut.<ref>Wynn p. 19</ref> Baru-baru ini, [[Gajah Asia]] telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.<ref>{{cite news |newspaper=The Guardian |last=Randerson |first=James |url=https://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |title=Elephants have a head for figures |date=21 August 2008 |access-date=29 March 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402103526/http://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |archive-date=2 April 2015 |url-status=live }}</ref>
=== Pembelajaran masa kecil ===
Biasanya, anak pertama menguasai [[menghitung]]. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat, ''lima''" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru.<ref>F. Smith p. 130</ref> Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat, ''lima''." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("[[bilangan ikatan]]"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu {{nowrap|1=6 + 6 = 12}} dan kemudian beralasan bahwa {{nowrap|6 + 7}} adalah 13.<ref>{{Cite book |last=Carpenter |first=Thomas |author2=Fennema, Elizabeth |author3=Franke, Megan Loef |author4=Levi, Linda |author5=Empson, Susan |title=Children's mathematics: Cognitively guided instruction |publisher=Heinemann |year=1999 |location=Portsmouth, NH |isbn=978-0-325-00137-1 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/childrensmathema0000unse_i5h7 }}</ref> Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.<ref name=Henry>{{Cite journal |last=Henry |first=Valerie J. |author2=Brown, Richard S. |title=First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard |journal=Journal for Research in Mathematics Education |volume=39 |issue=2 |pages=153–183 |year=2008 |doi=10.2307/30034895|jstor=30034895 }}</ref>
Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah.<ref>
Beckmann, S. (2014). Studi ICMI dua puluh tiga: studi matematika dasar pada bilangan bulat. Jurnal Internasional Pendidikan STEM, 1(1), 1-8.
Chicago
</ref> Namun, di seluruh dunia, penjumlahan diajarkan pada akhir tahun pertama sekolah dasar.<ref>Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". ''American Educator'', 26(2), 1–18.</ref>
==== Tabel ====
Anak-anak sering diberikan tabel penjumlahan pasangan angka dari 0 hingga 9 untuk dihafal. Mengetahui hal ini, anak-anak dapat melakukan penjumlahan apapun.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! +
! scope="column" | 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9
|-
! scope="row" | 0
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9
|-
! scope="row" | 1
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|-
! scope="row" | 2
| 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11
|-
! scope="row" | 3
| 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12
|-
! scope="row" | 4
| 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13
|-
! scope="row" | 5
| 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14
|-
! scope="row" | 6
| 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15
|-
! scope="row" | 7
| 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16
|-
! scope="row" | 8
| 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17
|-
! scope="row" | 9
| 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18
|}
=== Sistem desimal ===
Prasyarat untuk penjumlahan dalam sistem [[desimal]] adalah penarikan atau penurunan yang lancar dari "fakta penjumlahan" 100 digit tunggal. Seseorang bisa menghafal semua fakta dengan hafalan, tetapi strategi berbasis pola lebih mencerahkan dan, bagi kebanyakan orang, lebih efisien:<ref name="FosnotDolk99">Fosnot dan Dolk p. 99</ref>
* ''Sifat komutatif'': Disebutkan diatas, menggunakan pola ''a + b = b + a'' mengurangi jumlah "fakta penjumlahan" dari 100 menjadi 55.
* ''Satu atau dua'': Menambahkan 1 atau 2 adalah tugas dasar, dan dapat dilakukan dengan mengandalkan atau, pada akhirnya, [[intuisi (pengetahuan)|intuisi]].<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Nol'': Karena nol adalah identitas aditif, menambahkan nol adalah trivial. Meskipun demikian, dalam pembelajaran berhitung, beberapa siswa diperkenalkan penjumlahan sebagai proses yang selalu meningkatkan penjumlahan; [[masalah kata (pendidikan matematika)|masalah kata]] dapat membantu merasionalisasi "pengecualian" dari nol.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Ganda'': Menambahkan bilangan terkait dengan menghitung dua dan [[perkalian]]. Fakta ganda membentuk tulang punggung untuk banyak fakta terkait, dan siswa menemukannya relatif mudah untuk dipahami.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Hampir ganda'': Jumlah seperti 6 + 7 = 13 dapat dengan cepat diturunkan dari fakta ganda {{nowrap|1=6 + 6 = 12}} dengan menambahkan satu, atau dari {{nowrap|1=7 + 7 = 14}} dengan menguranginya.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Lima dan sepuluh'': Jumlah dari bentuk 5 + {{mvar|x}} dan 10 + {{mvar|x}} biasanya dihafal lebih awal dan dapat digunakan untuk mendapatkan fakta lain. Sebagai contoh, {{nowrap|1=6 + 7 = 13}} dapat diturunkan dari {{nowrap|1=5 + 7 = 12}} dengan menambahkan satu.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Membuat sepuluh'': Strategi tingkat lanjut menggunakan 10 sebagai perantara untuk jumlah yang melibatkan 8 atau 9; sebagai contoh, {{nowrap|1=8 + 6 = 8 + 2 + 4 =}} {{nowrap|1=10 + 4 = 14}}.<ref name="FosnotDolk99"/>
Seiring bertambahnya usia siswa, mereka mengingat lebih banyak fakta, dan belajar memperoleh fakta lain dengan cepat dan lancar. Banyak siswa tidak pernah mengingat semua fakta, tetapi masih dapat menemukan fakta dasar dengan cepat.<ref name=Henry/>
==== Simpan ====
{{main|Simpan (aritmetika)}}
Algoritma standar untuk menambahkan bilangan banyak digit adalah dengan meratakan penjumlahan secara vertikal dan menambahkan kolom, dimulai dari kolom satuan di sebelah kanan. Jika sebuah kolom melebihi sembilan, digit tambahannya adalah "[[simpan (aritmetika)|simpan]]" ke kolom berikutnya. Misalnya, sebagai tambahan {{nowrap|27 + 59}}
¹
27
+ 59
————
86
7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan.<ref group=alfa-rendah>Beberapa penulis berpikir bahwa "simpan" mungkin tidak sesuai untuk pendidikan; Van de Walle (p. 211) menyebutnya "usang dan menyesatkan secara konseptual", lebih memilih kata "perdagangan". Namun, "simpan" tetap menjadi istilah standar.</ref> Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.
==== Pecahan desimal ====
[[Pecahan desimal]] dapat ditambahkan dengan modifikasi sederhana dari proses di atas.<ref>Rebecca Wingard-Nelson (2014) ''Decimals and Fractions: It's Easy'' Enslow Publishers, Inc.</ref> Satu meratakan dua pecahan desimal di atas satu sama lain, dengan titik desimal di lokasi yang sama. Jika perlu, menambahkan bilangan nol di belakang ke desimal yang lebih pendek untuk sama panjang dengan desimal yang lebih panjang. Akhirnya, melakukan proses penjumlahan yang sama seperti diatas, kecuali koma desimal ditempatkan di jawaban, persis ditempat itu ditempatkan di penjumlahan.
Sebagai contoh, 45.1 + 4.34 dapat diselesaikan sebagai berikut:
4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
————————————
4 9 . 4 4
==== Notasi Ilmiah ====
{{main|Notasi ilmiah#Operasi dasar}}
Pada [[notasi ilmiah]], bilangan ditulis dalam bentuk <math>x=a\times10^{b}</math>, dimana <math> a </math> adalah signifikan dan <math>10^{b}</math> adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Sebagai contoh:
:<math>2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}</math>
== Penambahan bilangan ==
| |||