Determinan: Perbedaan antara revisi

19 bita ditambahkan ,  1 tahun yang lalu
tidak ada ringkasan suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
Tidak ada ringkasan suntingan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
\end{vmatrix}.</math>
 
== Dalam maktris ==
=== Matriks 2x2 ===
[[Berkas:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Luas jajaran genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor yang merepresentasikan sisi jajaran genjang.]]
Jadi determinan dari faktor skala dan orientasi yang diinduksi dengan pemetaan ''A''. Jika determinannya sama dengan satu, pemetaan linear ditentukan dengan matriks adalah [[Peta ekuiluas|ekui-luas]] dan orientasi.<ref>{{cite media |url=https://www.youtube.com/watch?v=6XghF70fqkY |series=WildLinAlg |title=Episode&nbsp;4 |first=Norman J. |last=Wildberger |publisher=[[University of New South Wales]] |place=Sydney, Australia |year=2010 |medium=video lecture |via=YouTube}}</ref>
 
=== Maktris {{nowrap|n}}×{{nowrap|n}} ===
== Aplikasi ==
[[Berkas:Determinant parallelepiped.svg|300px|right|thumb| Volume [[parallelepiped]] ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom yang dibangun dari vektor r1, r2, dan r3.]]
Penentu matriks dengan ukuran sembarang dapat ditentukan dengan [[rumus Leibniz determinan | rumus Leibniz]] atau [[Ekspansi Laplace | rumus Laplace]].
 
Rumus Leibniz untuk determinan dari sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matrix ''A'' is
 
:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}\right).</math>
 
Jumlah dihitung atas semua [[permutasi]] s '' σ '' dari himpunan {{nowrap|{1, 2, ..., ''n''}.}} Permutasi adalah fungsi yang menyusun ulang kumpulan bilangan bulat ini. Nilai pada posisi '' i''th setelah penyusunan ulang '' σ '' dilambangkan dengan ''σ''<sub>''i''</sub>. Misalnya untuk {{nowrap|1=''n'' = 3}}, urutan asli 1, 2, 3 mungkin diurutkan ulang menjadi {{nowrap|1=''σ'' = [2, 3, 1]}}, dengan {{nowrap|1=''σ''<sub>1</sub> = 2}}, {{nowrap|1=''σ''<sub>2</sub> = 3}}, dan {{nowrap|1=''σ''<sub>3</sub> = 1}}. Himpunan semua permutasi semacam itu (juga dikenal sebagai [[grup simetris]] pada elemen '' n '') dilambangkan dengan S<sub>''n''</sub>. Untuk setiap permutasi '' σ '', sgn('' σ '') menunjukkan [[tanda tangan (permutasi)|tanda tangan]] dari '' σ '', nilai yang +1 setiap kali pengubahan urutan yang diberikan oleh σ dapat dicapai dengan menukar dua entri secara berurutan beberapa kali, dan −1 kapan pun itu dapat dicapai dengan bilangan ganjil dari pertukaran tersebut.
 
Salah satu ringkasan <math>n!</math>, istilah
 
:<math>\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}</math>
 
adalah notasi untuk produk entri pada posisi {{nowrap|(''i'', σ<sub>''i''</sub>)}}, di mana '' i '' berkisar dari 1 hingga ''n'':
 
:<math>a_{1,\sigma_1} \cdot a_{2,\sigma_2} \cdots a_{n,\sigma_n}.</math>
 
Misalnya, determinan a {{nowrap|3 × 3}} matrix ''A'' ({{nowrap|1=''n'' = 3}}) adalah
 
:<math>\begin{align}
&\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i} \\
={} &\sgn([1,2,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} + \sgn([1,3,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} + \sgn([2,1,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} +{} \\
&\sgn([2,3,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \sgn([3,1,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} + \sgn([3,2,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i} \\
={} &\prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i} \\[2pt]
={} & a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} +
a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.
\end{align}</math>
 
== Aplikasi ==
=== Rumus Laplace ===
[[Ekspansi Laplace|Rumus Laplace]] untuk determinan a {{nowrap|3 × 3}} matriks adalah
 
Skema untuk menghitung determinan matriks {{nowrap | 3 × 3}} ini tidak terbawa ke dimensi yang lebih tinggi.
 
=== Maktris {{nowrap|n}}×{{nowrap|n}} ===
Penentu matriks dengan ukuran sembarang dapat ditentukan dengan [[rumus Leibniz determinan | rumus Leibniz]] atau [[Ekspansi Laplace | rumus Laplace]].
 
Rumus Leibniz untuk determinan dari sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matrix ''A'' is
 
:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}\right).</math>
 
Jumlah dihitung atas semua [[permutasi]] s '' σ '' dari himpunan {{nowrap|{1, 2, ..., ''n''}.}} Permutasi adalah fungsi yang menyusun ulang kumpulan bilangan bulat ini. Nilai pada posisi '' i''th setelah penyusunan ulang '' σ '' dilambangkan dengan ''σ''<sub>''i''</sub>. Misalnya untuk {{nowrap|1=''n'' = 3}}, urutan asli 1, 2, 3 mungkin diurutkan ulang menjadi {{nowrap|1=''σ'' = [2, 3, 1]}}, dengan {{nowrap|1=''σ''<sub>1</sub> = 2}}, {{nowrap|1=''σ''<sub>2</sub> = 3}}, dan {{nowrap|1=''σ''<sub>3</sub> = 1}}. Himpunan semua permutasi semacam itu (juga dikenal sebagai [[grup simetris]] pada elemen '' n '') dilambangkan dengan S<sub>''n''</sub>. Untuk setiap permutasi '' σ '', sgn('' σ '') menunjukkan [[tanda tangan (permutasi)|tanda tangan]] dari '' σ '', nilai yang +1 setiap kali pengubahan urutan yang diberikan oleh σ dapat dicapai dengan menukar dua entri secara berurutan beberapa kali, dan −1 kapan pun itu dapat dicapai dengan bilangan ganjil dari pertukaran tersebut.
 
Salah satu ringkasan <math>n!</math>, istilah
 
:<math>\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}</math>
 
adalah notasi untuk produk entri pada posisi {{nowrap|(''i'', σ<sub>''i''</sub>)}}, di mana '' i '' berkisar dari 1 hingga ''n'':
 
:<math>a_{1,\sigma_1} \cdot a_{2,\sigma_2} \cdots a_{n,\sigma_n}.</math>
 
Misalnya, determinan a {{nowrap|3 × 3}} matrix ''A'' ({{nowrap|1=''n'' = 3}}) adalah
 
:<math>\begin{align}
&\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i} \\
={} &\sgn([1,2,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} + \sgn([1,3,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} + \sgn([2,1,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} +{} \\
&\sgn([2,3,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \sgn([3,1,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} + \sgn([3,2,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i} \\
={} &\prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i} \\[2pt]
={} & a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} +
a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.
\end{align}</math>
 
=== Simbol Levi-Civita ===
2.955

suntingan