|
Ini berarti <math> A </math> memetakan unit [[Hiperkubus|''n''-kubus]] ke ''n''-dimensi [[parallepiped#Parallelotop| parallelotop]] yang ditentukan oleh vektor <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n,</math> the region <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i\right\}.</math>
Determinan memberikan volume dimensi [[orientasi (ruang vektor)|bertanda]] '' n '' dari paralelotop ini, <math>\det(A) = \pm \text{vol}(P),</math> dan karenanya menjelaskan secara lebih umum faktor skala volume dimensi '' 'n'' 'dari [[transformasi linear]] yang dihasilkan oleh ''A''.<ref>{{cite web|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|title=Determinants and Volumes|author=|date=|website=textbooks.math.gatech.edu|accessdate=16 March 2018}}</ref> (Tanda tersebut menunjukkan apakah transformasi mempertahankan atau membalikkan [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]].) Secara khusus, jika determinannya nol, maka paralelotop ini memiliki volume nol dan tidak sepenuhnya berdimensi '' n '', yang menunjukkan bahwa dimensi bayangan '' A '' lebih kecil dari ''n''. Ini [[Teorema peringkat-nulitas | berarti]] bahwa '' A '' menghasilkan transformasi linier yang bukan [[fungsi konjektur|ke]] atau [[Fungsi injektif|satu-ke-satu]], dan begitu juga bukan bisa dibalik.
== Definisi ==
\end{align}</math>
di mana '' b '' dan '' c '' adalah skalar, '' v '' adalah sembarang vektor berukuran '' n '' dan '' I '' adalah [[matriks identitas]] berukuran '' n ' '. Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya. Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, [[gelanggang komutatif]]), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik. <ref> [[Serge Lang]], '' Linear Algebra '', 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.</ref>
Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku '' n '' dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah [[ekspresi polinomial]] dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matriks memiliki [[Faktorial|''n''!]] istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus {{nowrap|2 × 2}} matriks dan matriks {{nowrap|3 × 3}}, diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.
Jika entri matriks adalah bilangan real, matriks {{math | A}} dapat digunakan untuk merepresentasikan dua [[peta linear]]: yang memetakan vektor [[standar dasar]] ke baris {{math|A}}, dan yang memetakannya ke kolom {{math|A}}. Dalam kedua kasus tersebut, gambar vektor basis membentuk [[jajaran genjang]] yang mewakili gambar [[satuan persegi]] di bawah pemetaan. Jajar genjang yang ditentukan oleh baris dari matriks di atas adalah yang memiliki simpul di {{math|{{nowrap|(0, 0)}},}} {{math|{{nowrap|(''a'', ''b'')}},}} {{math|{{nowrap|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}},}} dan {{math|{{nowrap|(''c'', ''d'')}},}} seperti yang ditunjukkan pada diagram terlampir.
<!--
The absolute value of {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}} }} is the area of the parallelogram, and thus represents the scale factor by which areas are transformed by {{math|A}}. (The parallelogram formed by the columns of {{math|A}} is in general a different parallelogram, but since the determinant is symmetric with respect to rows and columns, the area will be the same.)
Nilai absolut dari {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}} }} adalah luas jajaran genjang, dan dengan demikian mewakili faktor skala yang luasnya diubah oleh {{math|A}}. (Jajar genjang dibentuk kolom {{math|A}} pada jajaran genjang, tetapi karena determinan simetri dari baris dan kolom, luasnya tetap sama.)
The absolute value of the determinant together with the sign becomes the ''oriented area'' of the parallelogram. The oriented area is the same as the usual [[area (geometry)|area]], except that it is negative when the angle from the first to the second vector defining the parallelogram turns in a clockwise direction (which is opposite to the direction one would get for the [[identity matrix]]).
Nilai absolut dari determinan bersama dengan tanda menjadi ''luas berorientasi'' dari jajaran genjang. Luas orientasi sama dengan [[luas (geometri)|luas]] biasa, kecuali bilangan negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang menentukan jajar genjang berubah searah jarum jam (yang berlawanan dengan arah yang akan didapatkan untuk [[identitas matriks]])
To show that {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}}} is the signed area, one may consider a matrix containing two vectors {{math|{{nowrap|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}}}} and {{math|{{nowrap|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}}} representing the parallelogram's sides. The signed area can be expressed as {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}}} for the angle ''θ'' between the vectors, which is simply base times height, the length of one vector times the perpendicular component of the other. Due to the [[sine]] this already is the signed area, yet it may be expressed more conveniently using the [[cosine]] of the complementary angle to a perpendicular vector, e.g. {{math|{{nowrap|'''u'''<sup>⊥</sup> {{=}} (−''b'', ''a'')}},}} so that {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ′''}},}} which can be determined by the pattern of the [[scalar product]] to be equal to {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}:}} ▼
▲ToUntuk show thatmenunjukkan {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}}} isadalah the signed arealuas, one may consider a matrixmatriks containingdari twodua vectorsvektor {{math|{{nowrap|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}}}} anddan {{math|{{nowrap|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}}} representingdengan thesisi parallelogram'sjajaran sidesgenjang. The signed area can be expressed asLuas {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}}} foruntuk the anglesudut ''θ'' betweenantara the vectorsvektor, whichmerupakan istinggi simplykali base times heightalas, thepanjang lengthsatu ofvektor onedikalikan vectorkomponen timestegak thelurus perpendicular component of the otherlainnya. Due to theKarena [[ sinesinus]] thisdari already is the signed arealuas, yetdiekspresikan it may be expressed more conveniently using themenggunakan [[ cosinekosinus]] ofdari thesudut complementarykomplementer angleke tovektor ategak perpendicular vectorlurus, e.g.misalnya {{math|{{nowrap|'''u'''<sup>⊥</sup> {{=}} (−''b'', ''a'')}},}} so that {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ′''}},}} whichditentukan candengan be determined by the pattern of thepola [[ scalarproduk productskalar]] to be equal to {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}:}}
: <math>\text{Signed area} = ▼
▲: <math>\text{ SignedTanda areaLuas} =
|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|\,\sin\,\theta = \left|\boldsymbol{u}^\perp\right|\,\left|\boldsymbol{v}\right|\,\cos\,\theta' =
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc.
</math>
Jadi determinan dari faktor skala dan orientasi yang diinduksi dengan pemetaan ''A''. Jika determinannya sama dengan satu, pemetaan linear ditentukan dengan matriks adalah [[Peta ekuiluas|ekui-luas]] dan orientasi.<ref>{{cite media |url=https://www.youtube.com/watch?v=6XghF70fqkY |series=WildLinAlg |title=Episode 4 |first=Norman J. |last=Wildberger |publisher=[[University of New South Wales]] |place=Sydney, Australia |year=2010 |medium=video lecture |via=YouTube}}</ref>
Thus the determinant gives the scaling factor and the orientation induced by the mapping represented by ''A''. When the determinant is equal to one, the linear mapping defined by the matrix is [[Equiareal map|equi-areal]] and orientation-preserving.
== Aplikasi ==
The object known as the ''[[bivector]]'' is related to these ideas. In 2D, it can be interpreted as an ''oriented plane segment'' formed by imagining two vectors each with origin {{math|{{nowrap|(0, 0)}},}} and coordinates {{math|{{nowrap|(''a'', ''b'')}}}} and {{math|{{nowrap|(''c'', ''d'')}}.}} The bivector magnitude (denoted by {{math|{{nowrap|(''a'', ''b'') ∧ (''c'', ''d'')}})}} is the ''signed area'', which is also the determinant {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}.}}<ref>{{cite media |url=https://www.youtube.com/watch?v=6XghF70fqkY |series=WildLinAlg |title=Episode 4 |first=Norman J. |last=Wildberger |publisher=[[University of New South Wales]] |place=Sydney, Australia |year=2010 |medium=video lecture |via=YouTube}}</ref>
-->
== Matriks 3×3 ==
[[Berkas:Determinant parallelepiped.svg|300px|right|thumb| Volume [[parallelepiped]] ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom yang dibangun dari vektor r1, r2, dan r3.]]
=== Rumus Laplace ===
[[Ekspansi Laplace | Rumus Laplace]] untuk determinan a {{nowrap|3 × 3}} matriks adalah
:<math>
&= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
\end{align}</math>
<!--
=== Sarrus'Skema schemeSarrus ===
The [[rule ofKaidah Sarrus]] isadalah amnemonik mnemonicuntuk fordeterminan thematriks {{nowrap | 3 × 3}} matrix determinant: thejumlah sumdari ofhasil thekali productstiga of threegaris diagonal north-westbarat tolaut south-eastke linestenggara ofdari matrixelemen elementsmatriks, minusdikurangi thejumlah sumhasil ofkali thetiga products of threegaris diagonal south-westbarat todaya north-easthingga linestimur oflaut elementselemen, when the copies of the firstbila twosalinan columnsdari ofdua thekolom matrixpertama aredari writtenmatriks besideditulis itdi assampingnya inseperti thepada illustrationilustrasi:
<p style="padding:0;font-size:100%;">
<span style="background:#FFF;color:#000;">
~~~~~~\begin{vmatrix} a & b & c \\ e & f & g \\ h & i & j \end{vmatrix} =
\end{align}</math>
[[FileBerkas:Sarrus ABC red blue solid dashed.svg|200px]]
<math>\qquad= \color{red}{ afj + bgh + cei}\color{blue}{- hfc - iga- jeb}</math>
</span></p>
ThisSkema schemeuntuk formenghitung calculatingdeterminan the determinant of amatriks {{nowrap | 3 × 3}} matrixini doestidak notterbawa carryke overdimensi intoyang higherlebih dimensionstinggi.
-->
=== Maktris {{nowrap|n}}×{{nowrap|n}} ===
Penentu matriks dengan ukuran sembarang dapat ditentukan dengan [[rumus Leibniz determinan | rumus Leibniz]] atau [[Ekspansi Laplace | rumus Laplace]].
:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}\right).</math>
Di sini jumlahJumlah dihitung atas semua [[permutasi]] s '' σ '' dari himpunan {{nowrap|{1, 2, ..., ''n''}.}} Permutasi adalah fungsi yang menyusun ulang kumpulan bilangan bulat ini. Nilai pada posisi '' i''th setelah penyusunan ulang '' σ '' dilambangkan dengan ''σ''<sub>''i''</sub>. Misalnya untuk {{nowrap|1=''n'' = 3}}, urutan asli 1, 2, 3 mungkin diurutkan ulang menjadi {{nowrap|1=''σ'' = [2, 3, 1]}}, dengan {{nowrap|1=''σ''<sub>1</sub> = 2}}, {{nowrap|1=''σ''<sub>2</sub> = 3}}, dan {{nowrap|1=''σ''<sub>3</sub> = 1}}. Himpunan semua permutasi semacam itu (juga dikenal sebagai [[grup simetris]] pada elemen '' n '') dilambangkan dengan S<sub>''n''</sub>. Untuk setiap permutasi '' σ '', sgn('' σ '') menunjukkan [[tanda tangan (permutasi)|tanda tangan]] dari '' σ '', nilai yang +1 setiap kali pengubahan urutan yang diberikan oleh σ dapat dicapai dengan menukar dua entri secara berurutan beberapa kali, dan −1 kapan pun itu dapat dicapai dengan bilangan ganjil dari pertukaran tersebut.
Di salahSalah satu ringkasan <math>n!</math>, istilah
:<math>\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}</math>
a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.
\end{align}</math>
<!--
=== Simbol Levi-Civita symbol ===
ItTerkadang isberguna sometimesuntuk usefulmemperluas to extend therumus Leibniz formulake topenjumlahan ayang summationtidak inhanya which not only permutationspermutasi, buttetapi allurutan sequences ofindeks '' n '' indices in the rangedalam {{nowrap|1, ..., ''n''}} occur, ensuringmemastikan thatbahwa thekontribusi contributionurutan ofakan amenjadi sequencenol willkecuali bejika zeromenunjukkan unless it denotes a permutationpermutasi. ThusJadi the totally antisymmetricantisimetris [[simbol Levi-Civita symbol]] <math>\varepsilon_{i_1,\cdots,i_n}</math> extendsmemperluas thetanda signaturetangan of a permutationpermutasi, by settingdengan <math>\varepsilon_{\sigma(1),\cdots,\sigma(n)} = \operatorname{sgn}(\sigma)</math> foruntuk any permutationpermutasi '' σ '' ofdari '' n '', anddan <math>\varepsilon_{i_1,\cdots,i_n} = 0</math> whenketika no permutationpermutasi '' σ '' exists suchseperti thatitu <math>\sigma(j) = i_j</math> for <math>j=1,\ldots,n</math> (oratau equivalentlyekuivalen, wheneverbeberapa somepasangan pair of indices are equalindeks). ThePenentu determinant for anuntuk {{nowrap|''n'' × ''n''}} matrix cankemudian thendapat bediekspresikan expressed using an ''n''-foldmenggunakan summationpenjumlahan assebagai
:<math>\det(A) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1,i_1} \cdots a_{n,i_n},</math>
atau menggunakan dua simbol epsilon sebagai
or using two epsilon symbols as
:<math> \det(A) = \frac{1}{n!}\sum\varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},</math>
where now eachdimana ''i<sub>r</sub>'' and eachdan ''j<sub>r</sub>'' should bedijumlahkan summedlebih overdari {{nowrap|1, ..., ''n''}}.
HoweverNamun, throughmelalui thepenggunaan use ofnotasi tensor notationdan andpenekanan thesimbol suppressionpenjumlahan of(konvensi thepenjumlahan summation symbol (Einstein's summation convention) we can obtain a much more compact expression of the determinant of the seconddari orderekspresi systemdeterminan ofkompak <math>n=3</math> dimensionsukuran, <math>a^m_n</math>;
:<math>\det(a^m_n)e_{rst} = e_{ijk}a_r^i a_s^j a_t^k</math>
wheredimana <math>e_{rst}</math> anddan <math>e_{ijk}</math> represent'sistem elektronik'e-systems' that take on thedari valuesnilai 0, +1 anddan −1 givenberdasarkan thejumlah numberpermutasi of permutations ofdari <math> ijk </math> anddan <math> rst </math>. MoreLebih specificallyspesifik, <math>e_{ijk}</math> issama equal todengan 0 when there is a repeatedketika indexindeks inberulang <math> ijk </math>; +1 whenketika ansejumlah even number of permutations ofpermutasi <math> ijk </math> is present; −1 whenketika anjumlah oddpermutasi numberganjil of permutations ofdari <math> ijk </math> is present. TheJumlah numberindeks ofdalam indicessistem presentelektronik insama the e-systems is equal todengan <math> n </math> and thusdan cankarenanya bedapat generalizeddigeneralisasikan indengan thiscara mannerini.<ref>{{cite book |last1=McConnell |title=Applications of Tensor Analysis |url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco |url-access=registration |date=1957 |publisher=Dover Publications |pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]}}</ref>
-->
== Catatan ==
== Referensi ==
| edition = 7th
}}
{{matematika-stub}}
[[Kategori:Matriks]]
| 