Pertidaksamaan: Perbedaan revisi

7.400 bita ditambahkan ,  6 bulan yang lalu
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
: <math>HP = \{x|x \ge 5, x \in R \}</math>
 
== Pertidaksamaan aritmatika dan geometri ==
== Lihat pula ==
{{see also|Pertidaksamaan rata rata aritmatika dan geometri}}
* [[Persamaan]]
 
* [[Pertidaksamaan Trivial]]
Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> kita punya {{nowrap|''H'' ≤ ''G'' ≤ ''A'' ≤ ''Q'',}} dimana
* [[Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz]]
 
* [[Pertidaksamaan Rearragement]]
:{| style="height:200px"
* [[Pertidaksamaan Chebyshvev]]
|-
* [[Pertidaksamaan Jensen]]
|<math>H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}</math>   || ([[rata-rata harmonis]]),
|-
|<math>G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} </math> || ([[geometric mean]]),
|-
|<math>A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}</math> || ([[rata-rata aritmatika]]),
|-
|<math>Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}</math> || ([[Rata-rata akar kuadrat| rata rata kuadrat]]).
|}
 
 
== Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ==
{{see also|Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz}}
 
Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor '' u '' dan '' v '' dari [[ruang hasil kali dalam]] memang benar bahwa
: <math>|\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| ^2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle,</math>
where <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[produk dalam]]. Contoh produk dalam mencakup [[produk titik]] nyata dan kompleks; Di [[ruang Euklides]] ''R''<sup>''n''</sup> dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah
: <math>\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).</math>
 
== Pertidaksamaan pangkat ==
Sebuah "'''pertidaksamaan pangkat'''" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ''a''<sup>''b''</sup>, di mana '' a '' dan '' b '' adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan [[olimpiade matematika]].
 
=== Contoh ===
 
* Dari bilangan riil ''x'',
:: <math>e^x \ge 1+x.</math>
* Bila ''x'' > 0 dan ''p'' > 0, maka
:: <math>\frac{x^p - 1}{p} \ge \ln(x) \ge \frac{1 - \frac{1}{x^p}}{p}.</math>
: Dalam batas ''p'' → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(''x'').
* Bila ''x'' > 0, maka
:: <math>x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e}.</math>
* Bila ''x'' > 0, maka
:: <math>x^{x^x} \ge x.</math>
* Bila ''x'', ''y'', ''z'' > 0, maka
:: <math>\left(x+y\right)^z + \left(x+z\right)^y + \left(y+z\right)^x > 2.</math>
* Untuk bilangan riil '' a '' dan '' b '',
:: <math>\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.</math>
* Bial ''x'', ''y'' > 0 dan 0 < ''p'' < 1, maka
:: <math>x^p+y^p > \left(x+y\right)^p.</math>
* If ''x'', ''y'', ''z'' > 0, then
:: <math>x^x y^y z^z \ge \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.</math>
* If ''a'', ''b'' > 0, then<ref>{{Cite journal |jstor = 2324012|last1 = Laub|first1 = M.|last2 = Ilani|first2 = Ishai|title = E3116|journal = The American Mathematical Monthly|year = 1990|volume = 97|issue = 1|pages = 65–67|doi = 10.2307/2324012}}</ref>
:: <math>a^a + b^b \ge a^b + b^a.</math>
* If ''a'', ''b'' > 0, then<ref>{{cite journal|first=S.|last=Manyama|title=Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions|journal=Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications|url=https://ajmaa.org/searchroot/files/pdf/v7n2/v7i2p1.pdf|volume=7|issue=2|page=1|date=2010}}</ref>
:: <math>a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.</math>
* If ''a'', ''b'', ''c'' > 0, then
:: <math>a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.</math>
* If ''a'', ''b'' > 0, then
:: <math>a^b + b^a > 1.</math>
 
== Pertidaksamaan yang terkenal ==
{{see also|Daftar Pertidaksamaan}}
 
[[Matematikawan]] sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:
{{div col}}
* [[Pertidaksamaan Azuma]]
* [[Pertidaksamaan Bernoulli]]
* [[Pertidaksamaan Bell]]
* [[Pertidaksamaan Boole]]
* [[Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]]
* [[Pertidaksamaan Chebyshev]]
* [[Pertidaksamaan Chernoff]]
* [[Pertidaksamaan Cramér–Rao]]
* [[Pertidaksamaan Hoeffding]]
* [[Pertidaksamaan Hölder]]
* [[Pertidaksamaan rata-rata aritmatika dan geometri]]
* [[Pertidaksamaan Jensen]]
* [[Pertidaksamaan Kolmogorov]]
* [[Pertidaksamaan Markov]]
* [[Pertidaksamaan Minkowski]]
* [[Pertidaksamaan Nesbitt]]
* [[Pertidaksamaan Pedoe]]
* [[Pertidaksamaan Poincaré]]
* [[Pertidaksamaan Samuelson]]
* [[Pertidaksamaan segitiga]]
{{div col end}}
 
== Lihat pula ==
*[[Hubungan biner]]
*[[Biner (matematika)]], untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai [[tanda kurung]]
*[[Inklusi (teori himpunan)]]
*[[Inequation]]
*[[Interval (matematika)]]
*[[Daftar pertidaksamaan]]
*[[Daftar pertidaksamaan segitiga]]
*[[Himpunan yang dipesan sebagian]]
*[[Operator relasional]], digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan
<!--
== Catatan ==
{{Reflist}}-->
 
== Referensi ==
<references/>
 
== Sumber ==
* {{cite book | author=Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G.| title=Inequalities| publisher=Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press | year=1999 | isbn=0-521-05206-8}}
* {{cite book | author=Beckenbach, E. F., Bellman, R.| title=An Introduction to Inequalities| publisher=Random House Inc | year=1975 | isbn=0-394-01559-2}}
* {{cite book| author=Drachman, Byron C., Cloud, Michael J.| title=Inequalities: With Applications to Engineering| publisher=Springer-Verlag| year=1998| isbn=0-387-98404-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/inequalitieswith0000clou}}
* {{Citation | last1=Grinshpan | first1=A. Z. | title=General inequalities, consequences, and applications | doi=10.1016/j.aam.2004.05.001 | year=2005 |
journal=Advances in Applied Mathematics | volume=34 | issue=1 | pages=71–100 | doi-access=free }}
* {{cite journal |title='Quickie' inequalities |author=Murray S. Klamkin |url=https://www.math.ualberta.ca/pi/issue7/page26-29.pdf |journal=Math Strategies}}
* {{cite web |title=Introduction to Inequalities |url=http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu |author=Arthur Lohwater |year=1982 |publisher=Online e-book in PDF format}}
* {{cite web |title=Mathematical Problem Solving |url=http://www.math.kth.se/math/TOPS/index.html |author=Harold Shapiro |date=2005 |publisher=Kungliga Tekniska högskolan |work=The Old Problem Seminar}}
* {{cite web |title=3rd USAMO |url=http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080203070350/http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html |archivedate=2008-02-03 |url-status=dead }}
* {{cite book
| last = Pachpatte
| first = B. G.
| title = Mathematical Inequalities
| publisher = [[Elsevier]]
| series = North-Holland Mathematical Library
| volume = 67
| edition = first
| year = 2005
| location = Amsterdam, The Netherlands
| isbn = 0-444-51795-2
| issn = 0924-6509
| mr = 2147066
| zbl = 1091.26008}}
* {{cite book | author=Ehrgott, Matthias| title=Multicriteria Optimization| publisher=Springer-Berlin| year=2005| isbn=3-540-21398-8}}
* {{cite book | last=Steele | first=J. Michael | authorlink=J. Michael Steele | title=The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities | publisher=Cambridge University Press | year=2004 | isbn=978-0-521-54677-5 | url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html}}
 
== Pranala luar ==
[[Kategori:Matematika]]
{{commons category|Inequalities (mathematics)}}
[[Kategori:Persamaan]]
* {{springer|title=Inequality|id=p/i050790}}
* [https://demonstrations.wolfram.com/GraphOfInequalities/ Graph of Inequalities] by [[Ed Pegg, Jr.]]
* [https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Inequality AoPS Wiki entry about Inequalities]
 
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Pertidaksamaan | ]]
{{matematika-stub}}
[[Kategori:Aljabar dasar]]
[[Kategori:Terminologi matematika]]
2.914

suntingan