Rumus Vieta: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 50:
Akar kuadrat dari <math>r_1, r_2, r_3</math> dari [[polinomial kubik]] <math>P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math>, yaitu
:<math> r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a}, \quad r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a}.</math>
=== Pemecahan Masalah Rumus Vieta ===
Menunjukkan bahwa
<math>\sum_{j=1}^n \cot^2\Big(\tfrac{j \pi}{2n+1}\Big) \; = \; \tfrac13n(2n-1)</math>
untuk bilangan bulat apa pun <math>n \ge 1</math>
Dengan ini yang pertama dengan menggunakan [[teorema De-Moivre]] untuk bilangan bulat positif {{math|''m''}}:
<math>\begin{aligned} (\cos x+i\sin x)^m&=\cos mx+i\sin mx\\ \frac{\cos mx+i\sin mx}{\sin^m x}&=(\cot x+i)^m\\ &=\cot^m x+\binom{m}{1}\cot^{m-1}(x)i+\cdots+\binom{m}{m-1}\cot(x)i^{m-1} + i^m. \end{aligned}</math>
Saat dapat mengelompokkan RHS sebagai berikut sejak kami memilikinya <math>i^2=-1</math>:
<math>\text{RHS} =\left(\cot^m x-\binom{m}{2}\cot^{m-2} x+\cdots\right)+i\left(\binom{m}{1}\cot^{m-1}x-\binom{m}{3}\cot^{m-3} x+\cdots\right).</math>
Menyamakan bagian imajiner di kiri dan kanan, kita dapatkan
<math>\binom{m}{1}\cot^{m-1}x-\binom{m}{3}\cot^{m-3}x+\cdots = \frac{\sin mx}{\sin^m x}.</math>
Membiarkan nilai <math>\cot^2 x = u,</math> maka persamaannya dalam ''u'' dan jumlah akarnya diberikan oleh <math>\displaystyle \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}}</math> seperti yang kita ketahui dari formula Vieta. Sejak nilai <math>x=\frac{j\pi}{2n+1},x=
2n+1</math>
<math>\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n}\cot^2 \frac{j\pi}{2n+1} &= \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}}\\ &= \frac{1}{6}2n(2n-1)\\ &= \frac{1}{3}n(2n-1). \ _\square \end{aligned}</math>
== Keterangan ==
| |||