Persamaan medan Einstein

Untuk persamaan E = mc², lihat Ekuivalensi massa–energi.

Dalam teori relativitas umum, persamaan medan Einstein (Inggris: Einstein's field equations, disingkat EFE; juga disebut persamaan Einstein) menguhungkan geometri dari ruang waktu dengan distribusi materi di dalamnya.

Persamaan ini pertama kali diterbitkan oleh Einstein pada tahun 1915 dalam bentuk persamaan tensor yang menghubungkan lengkungan ruang waktu lokal (diekspresikan dengan tensor Einstein) dengan energi dan momentum lokal di dalam ruang waktu tersebut (diekspresikan dengan tensor tegangan–energi).

Sebagaimana medan elektromagnetik ditentukan menggunakan muatan dan arus melalui persamaan Maxwell, persamaan ini digunakan untuk menentukan geometri ruang waktu yang dihasilkan dari keberadaan massa–energi dan momentum linear, dengan kata lain, mereka menentukan tensor metrik dari ruang waktu untuk suatu susunan tegangan–energi dalam ruang waktu. Hubungan antara tensor metrik dan tensor Einstein memungkinkan persamaan EFE ditulis sebagai sehimpunan persamaan diferensial parsial non-linear apabila digunakan seperti ini. Penyelesaian dari persamaan EFE adalah komponen dari tensor metrik. Lintasan inersia dari partikel dan radiasi (geodesik) dalam geometri yang dihasilkan kemudian dihitung menggunakan persamaan geodesik.

Selain mematuhi kekekalan energi–momentum lokal, persamaan EFE bisa disederhanakan menjadi hukum gravitasi universal Newton apabila medan gravitasinya lemah dan kecepatannya jauh lebih kecil daripada laju cahaya.

Penyelesaian eksak untuk EFE hanya bisa ditemukan menggunakan asumsi untuk menyederhanakannya misalnya simetri. Kasus-kasus khusus untuk penyelesaian-penyelesaian eksak lebih sering dipelajari karena mereka memodelkan banyak fenomena gravitasi, seperti lubang hitam yang berotasi dan perluasan alam semesta. Penyederhanaan lebih lanjut diperoleh dengan menyerhanakan ruang waktu menjadi ruang waktu yang datar dengan sedikit penyimpangan, menghasilkan EFE terlinear. Persamaan-persamaan ini digunakan untuk mempelajari fenomena-fenomena seperti gelombang gravitasi.

Bentuk matematis

Persamaan medan Einstein bisa ditulis dalam bentuk:

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

Persamaan EFE di sebuah dinding di Leiden

di mana R_μν adalah tensor lengkungan Ricci, R adalah lengkungan skalar, g_μν adalah tensor metrik, Λ adalah konstanta kosmologis, G adalah konstanta gravitasi Newton, c adalah laju cahaya dalam ruang hampa, dan T_μν adalah tensor tegangan–energi.

Persamaan EFE merupakan sebuah persamaan tensor yang menghubungkan sehimpunan tensor 4 × 4 yang simetris. Masing-masing tensor memiliki 10 komponen saling lepas. Keempat identitas Bianchi mengurangi banyak persamaan saling lepas dari 10 menjadi 6, memberikan metrik empat derajat kebebasan yang menentukan gauge, yang bersesuaian dengan kebebasan memilih sistem koordinat.

Meskipun persamaan medan Einstein awalnya dirumuskan dalam konteks teori empat dimensi, beberapa teoretikus telah mencoba mencari tahu konsekuensi persamaan tersebut dalam n dimensi. Persamaan tersebut dalam konteks di luar relativitas umum tetap disebut sebagai persamaan medan Einstein. Persamaan medan vakum (didapatkan ketika T identik dengan nol) mendefinisikan manifol Einstein.

Meskipun persamaannya tampak sederhana, persamaan ini sebenarnya cukup rumit. Jika diberikan distribusi materi dan energi dalam bentuk tensor tegangan–energi, maka persamaan EFE akan menjadi persamaan untuk tensor metrik g_μν, karena tensor Ricci dan lengkungan skalar bergantung pada metrik tersebut dalam cara nonlinear yang rumit. Bahkan, jika dituliskan sepenuhnya, persamaan EFE merupakan sebuah sistem sepuluh persamaan diferensial parsial bertautan, nonlinear dan hiperbolik-eliptis.

Persamaan EFE bisa ditulis dalam bentuk yang lebih pendek dengan mendefinisikan tensor Einstein

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },$

yang merupakan sebuah tensor simetris rank dua yang merupakan fungsi dari metrik. Setelah itu, persamaan EFE bisa ditulis

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.$

Dalam satuan standar, masing-masing suku di sisi kiri memiliki satuan 1/panjang². Jika konstanta Einstein dipilih sebagai 8πG/c⁴, maka tensor tegangan–energi di sisi kanan persamaan harus ditulis dengan setiap komponennya bersatuan kerapatan energi (energi per volume).

Jika menggunakan satuan tergeometrisasi di mana G = c = 1, ini bisa ditulis ulang sebagai

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.$

Ekspresi di sisi kiri melambangkan kelengkungan ruang waktu sebagaimana ditentukan oleh metrik; ekspresi di sisi kanan melambangkan isi materi/energi dari ruang waktu. Persamaan EFE bisa ditafsirkan sebagai sehimpunan persamaan yang mengatur bagaimana materi/energi memengaruhi kelengkungan ruang waktu.

Persamaan ini, bersama dengan persamaan geodesik, yang mengatur bagaimana materi yang jatuh bebas bergerak melalui ruang waktu, membentuk inti dari perumusan matematis relativitas umum.

Konvensi tanda

Bentuk EFE di atas adalah standar yang ditentukan olehy Misner, Thorne, dan Wheeler. Para penulis tersebut menganalisa semua konvensi yang ada dan mengelompokkan mereka berdasarkan tiga tanda (S1, S2, S3):

${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times {\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\end{aligned}}$

Tanda ketiga di atas berkaitan dengan pilihan konvensi untuk tensor Ricci:

$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }$

Dengan definisi-definisi di atas Misner, Thorne, dan Wheeler mengelompokkan diri mereka sebagai (+ + +), sedangkan Weinberg (1972) tergolong (+ − −), Peebles (1980) dan Efstathiou dll. (1990) tergolong (− + +), Collins Martin & Squires (1989) dan Peacock (1999) tergolong (− + −).

Beberapa penulis seperti Einstein menggunakan tanda yang berbeda dalam definisi mereka untuk tensor Ricci yang menyebabkan tanda di sisi kanan menjadi negatif

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.$

Tanda dari suku kosmologis (yang sangat kecil) akan berubah di kedua versi apabila konvensi tanda metrik (+ − − −) digunakan bukannya konvensi tandam metrik MTW (− + + +) yang digunakan di sini.

Perumusan ekuivalen

Jika diambil teras terhadap metrik dari kedua sisi EFE, maka akan diperoleh

$R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T\,$

di mana D adalah dimensi ruang waktu. Ekspresi ini juga bisa ditulis sebagai

$-R+{\frac {D\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {T}{{\frac {D}{2}}-1}}\,.$

Jika ditambahkan −12g_μν dikali ini ke EFE, maka akan diperoleh bentuk "teras terbalik" yang ekuivalen berikut

$R_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda g_{\mu \nu }}{{\frac {D}{2}}-1}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).\,$

Contohnya, dalam D = 4 dimensi, ini disederhanakan menjadi

$R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,$

Membalikkan terasnya lagi akan mengembalikan EFE yang awal. Bentuk teras terbalik bisa jadi lebih nyaman digunakan dalam beberapa kasus (contohnya, ketika ingin membatasi untuk medan yang lemah dan bisa mengganti g_μν dalam ekspresi di sisi kanan dengan metrik Minkowski tanpa kehilangan akurasi yang signifikan).

Lihat pula

• Kalkulus Ricci
• Matematika relativitas umum
• Penyelesaian eksak dalam relativitas umum
• Persamaan Hamilton–Jacobi–Einstein
• Prinsip ekuivalensi
• Relativitas numerik
• Sejarah relativitas umum
• Tindakan Einstein–Hilbert

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Einstein equations", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Caltech Tutorial on Relativity — Pengantar sederhana kepada persamaan medan Einstein.
• The Meaning of Einstein's Equation — Penjalasan persamaan medan Einstein, penurunannya, dan beberapa konsekuensinya
• Video Lecture on Einstein's Field Equations oleh Profesor Fisika MIT Edmund Bertschinger.
• Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations
• Persamaan medan Einstein di dinding di Museum Boerhaave di Leiden