Penambahan: Perbedaan revisi

10.165 bita ditambahkan ,  1 tahun yang lalu
tidak ada ringkasan suntingan
(Lebih sering disebut penjumlahan)
[[Berkas:Addition01.svg|ka|jmpl|120px|3 + 2 = 5 dengan [[apel]] pilihan paling populer dalam buku cetak<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
'''Penambahan''' (disebut juga '''penjumlahan''', sering ditandai dengan [[Tanda plus dan minus|tanda plus]] "+") adalah salah satu dari empat [[operasi]] [[aritmetika]] dasar. Perjumlahan merupakan penambahan sekelompok [[bilangan]] atau lebih menjadi suatu bilangan yang merupakandisebut ''jumlah''. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "{{nowrap|1=3 + 2 = 5}}", disebut "3 di''tambah'' 2 [[kesamaan (matematika)|sama dengan]] 5".
 
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa [[bilangan]], di antaranya [[bilangan bulat]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]]. Dalam cabang matematika lain yang disebut [[aljabar]], penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti [[vektor]] dan [[matriks]].
== Sifat-sifat ==
; '''Sifat komutatif'''
: Urutan di mana dua nomor dikalikan atau ditambahkan tidak menjadi masalah:
::<math>x + y = y + x</math>.
 
Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifat [[sifat komutatif|komutatif]], yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifat [[sifat asosiatif|asosiatif]], yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan [[0 (bilangan)|0]] tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasi [[pengurangan]] dan [[perkalian]].
; '''Sifat asosiatif'''
: Pernyataan yang hanya melibatkan perkalian atau penambahan tidak terpengaruh dengan [[urutan operasi]]:
::<math>(x + y) + z = x + (y + z)</math>
 
; '''Sifat distributif'''
: Identitas ini adalah sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:
::<math>(x + y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z </math>
 
== Penulisan ==
:<math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55</math>
 
== Sifat-sifat ==
=== Perjumlahan bilangan bulat ===
=== Sifat komutatif ===
Bilangan bulat merupakan semua himpunan bilangan positif dan negatif termasuk bilangan nol (0) yaitu: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
[[File:AdditionComm01.svg|right|113px|thumb|4 + 2 = 2 + 4 digambarkan dengan kotak]]
Penambahan bersifat [[sifat komutatif|komutatif]], berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jika ''x'' dan ''y'' adalah sembarang bilangan, maka
:<math>x + y = y + x</math>.
 
=== Sifat asosiatif ===
[[File:AdditionAsc.svg|left|100px|thumb|2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 digambarkan dengan tabung]]
Penambahan bersifat [[sifat asosiatif|asosiatif]], yang berarti dalam pernyataan yang hanya melibatkan penambahan tidak terpengaruh dengan [[urutan operasi]]. Misalkan untuk pernyataan <math>x + y + z</math>, jika pernyataan tersebut diartikan sebagai <math>(x + y) + z</math> maupun <math>x + (y + z)</math>, hasilnya akan sama.
:<math>(x + y) + z = x + (y + z)</math>
 
Akan tetapi, jika penambahan berada di dalam pernyataan yang melibatkan operasi lain, urutan operasi akan berpengaruh. Misalnya, jika suatu pernyataan berisi operasi penambahan dan perkalian, maka operasi perkalian harus dilakukan terlebih dahulu.
 
=== Sifat distributif ===
Penambahan bersifat [[distributif]] terhadap perkalian. Sifat ini bisa digambarkan dengan identitas berikut.
:<math>(x + y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z </math>
 
=== Elemen identitas ===
[[File:AdditionZero.svg|right|70px|thumb|5 + 0 = 5 digambarkan dengan sekarung titik]]
Ketika menambahkan [[0 (bilangan)|nol]] dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah [[elemen identitas]] dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk ''a'' apapun,
:''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''.
Hukum ini pertama dikenali dalam ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' dari [[Brahmagupta]] pada tahun 628, meskipin dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah ''a'' adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, [[Mahavira (matematikawan)|Mahavira]] menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", corresponding to the unary statement {{nowrap|1=0 + ''a'' = ''a''}}.<ref>Kaplan pp. 69–71</ref>
 
=== Satuan ===
Untuk menambahkan [[kuantitas fisik|kuantitas-kuantitas fisik]] dengan [[satuan]], kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama.<ref>R. Fierro (2012) ''Mathematics for Elementary School Teachers''. Cengage Learning. Sec 2.3</ref> Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar dari [[analisis dimensi]].
 
== Penambahan bilangan ==
Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untuk [[bilangan asli]]. Dalam [[teori himpunan]], operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitu [[bilangan bulat]], [[bilangan rasional]], dan [[bilangan real]].<ref>[[Herbert Enderton|Enderton]] chapters 4 and 5, sebagai contoh, mengikuti pengembangan ini.</ref>
 
=== Bilangan asli ===
{{further|Bilangan asli}}
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli ''a'' dan ''b''. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] dari himpunan hingga, (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
* Misalkan N(''S'') adalah lambang untuk kardinalitas himpunan ''S''. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas ''A'' dan ''B'', dengan {{nowrap|1=N(''A'') = ''a''}} dan {{nowrap|1=N(''B'') = ''b''}}. Maka {{nowrap|''a'' + ''b''}} didefinisikan sebagai <math> N(A \cup B)</math>.<ref>Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75</ref>
Di sini, {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B''}} adalah [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari ''A'' dan ''B''.
 
Definisi populer lainnya bersifat rekursif:
* Misalkan ''n''<sup>+</sup> adalah lambang untuk [[fungsi penerus|penerus]] dari ''n'', yaitu bilangan setelah ''n'' dalam himpunan bilangan asli, jadi 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2. Definisikan {{nowrap|1=''a'' + 0 = ''a''}}. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi {{nowrap|1=''a'' + (''b''<sup>+</sup>) = (''a'' + ''b'')<sup>+</sup>}}. Jadi misalnya {{nowrap|1=1 + 1 = 1 + 0<sup>+</sup> = (1 + 0)<sup>+</sup> =}} {{nowrap|1=1<sup>+</sup> = 2}}.<ref>Enderton p. 79</ref>
 
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.<ref>Ferreirós p. 223</ref> Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan [[induksi matematika]].
 
<!-- Bilangan bulat -->
 
=== Bilangan rasional (pecahan) ===
Penambahan [[bilangan rasional]] didefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.
* Definisikan <math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
 
Contohnya, <math>\frac 34 + \frac 18 = \frac{3 \times 8+4 \times 1}{4 \times 8} = \frac{24 + 4}{32} = \frac{28}{32} = \frac78</math>.
 
Penambahan pecahan lebih sederhana ketika [[pecahan|penyebut]]nya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya: <math>\frac ac + \frac bc = \frac{a + b}{c}</math>, jadi <math>\frac 14 + \frac 24 = \frac{1 + 2}{4} = \frac 34</math>.<ref>Schyrlet Cameron, and Carolyn Craig (2013)''Adding and Subtracting Fractions, Grades 5–8'' Mark Twain, Inc.</ref>
 
<!-- Bilangan real -->
 
=== Bilangan kompleks ===
Penambahan [[bilangan kompleks]] didefinisikan dengan menjumlahkan bagian real dan menjumlahkan bagian imajiner.<ref>{{Citation |last=Conway |first=John B. |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}</ref><ref>{{Citation |last1=Joshi |first1=Kapil D
|title=Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6|year=1989}}</ref> Dengan simbol matematika:<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.</math>
 
== Generalisasi ==
Ada banyak [[operasi biner]] yang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidang [[aljabar abstrak]] utamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalam [[teori himpunan]] dan [[teori kategori]].
 
=== Aljabar abstrak ===
==== Vektor ====
{{Main|Penjumlahan vektor}}
Dalam [[aljabar linear]], [[ruang vektor]] adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua [[vektor (spasial)|vektor]] dan perkalian skalar suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (''a'',''b'') dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (''a'',''b''). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
:<math>(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).</math>
Operasi penambahan ini penting sekali bagi [[mekanika klasik]], di mana [[gaya (fisika)|gaya]] ditafsirkan sebagai vektor.
 
==== Matriks ====
{{Main|Penjumlahan matriks}}
Penjumlahan [[Matriks (matematika)|matriks]] didefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuran ''m'' × ''n'' '''A''' dan '''B''', dilambangkan dengan {{nowrap|'''A''' + '''B'''}}, adalah sebuah matriks {{nowrap|''m'' × ''n''}} yang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:<ref>Lipschutz, S., & Lipson, M. (2001). Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Erlangga.</ref><ref>{{cite book |title=Mathematical methods for physics and engineering |url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile |url-access=registration |first1=K.F. |last1=Riley |first2=M.P.|last2=Hobson |first3=S.J. |last3=Bence |publisher=Cambridge University Press |year=2010 |isbn=978-0-521-86153-3}}</ref>
 
:<math>\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +
 
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
 
\end{align}</math>
 
Contohnya:
:<math>
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
7 & 5 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 \\
1+7 & 0+5 \\
1+2 & 2+1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
8 & 5 \\
3 & 3
\end{bmatrix}
</math>
 
==== Aritmetika modular ====
{{Main|Aritmetika modular}}
Dalam aritmetika modular, penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang [[Relasi kongruensi|kongruen]] dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
 
==== Teori umum ====
Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. [[Struktur aljabar]] dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah [[Monoid#Monoid komutatif|monoid komutatif]] dan [[grup abelian]].
 
== Lihat pula ==
* [[Perjumlahan matriks]]
* [[Perjumlahan vektor]]
 
== Referensi ==
{{reflist|30em}}
 
{{Aritmetika dasar}}
{{matematika-stub}}
 
[[Kategori:MatematikaAritmetika dasar]]
[[Kategori:Operasi biner]]
4.335

suntingan