Wikipedia

Integral: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Arisdp (bicara | kontrib)
Peninjau
1.856 suntingan
Menolak perubahan teks terakhir (oleh 114.141.51.178) dan mengembalikan revisi 15615556 oleh WOR bot
S Rifqi (bicara | kontrib)
1.410 suntingan
perbaikan penulisan (terutama LaTeX), tata bahasa, dan tata letak (tahap 1)
Baris 1:
{{Kalkulus|Integral}}
[[Berkas:Integral example.svg|jmpl|Sebuah integral tertentu dari sebuah fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.]]
'''Integral''' adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam [[matematika]],. Integral dan bersama dengan inversnya, [[turunan|diferensiasi]], adalah satu dari dua operasi utama dalam [[kalkulus]]. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, di manayaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah {{nowrap|<math display="inline">\int\,</math>.}}
 
Bila diberikan suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] ''f'' dari [[variabel (matematika)|variabel]] [[bilangan real|real]] ''x'' dengan [[interval (matematika)|interval]] {{nowrap|<nowiki>[</nowiki>''a'', ''b''<nowiki>]</nowiki>}} dari sebuah garis lurus, maka '''integral tertentu'''
 
: <math>\int_a^b \! f(x)\,dx \,</math>
 
didefinisikan sebagai [[area (geometri)|area]] yang dibatasi oleh [[grafik fungsi|kurva]] ''f'', sumbu-''x'', sumbu-''y'', danserta garis vertikal {{nowrap|''x'' {{=}} ''a''}} dan {{nowrap|''x'' {{=}} ''b''}}, dengan area yang berada di atas sumbu-''x'' bernilai positif dan area di bawah sumbu-''x'' bernilai negatif.
 
Kata ''integral'' juga dapat digunakan untuk merujuk pada [[antiturunan]], sebuah fungsi ''F'' yang turunannya adalah fungsi ''f''. Pada kasus ini, makaia disebut sebagai ''integral tak tentu'' dan notasinya ditulis sebagai: berikut.
:<math>F = \int f(x)\,dx.</math>
 
: <math>F = \int f(x)\,dx</math>
Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]] pada akhir abad ke-17. Melalui [[teorema fundamental kalkulus]] yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika ''f'' adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah [[interval tertutup]] {{nowrap|[''a'', ''b'']}}, maka, jika antiturunan ''F'' dari ''f'' diketahui, maka integral tertentu dari ''f'' pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
 
Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]] pada akhir abad ke-17. Melalui [[teorema fundamental kalkulus]] yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika ''f'' adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah [[interval tertutup]] {{nowrap|[''a'', ''b'']}}, jika antiturunan ''F'' dari ''f'' diketahui, integral tertentu dari ''f'' pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
:<math>\int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,</math>
 
: <math>\int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)</math>
Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan [[teknik]].
 
Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan [[teknik]].
 
== Definisi formal ==
Baris 32 ⟶ 33:
== Mencari nilai integral ==
=== Substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian secara substitusi.
:Contoh soal:
:Cari nilai dari:<math>\int \frac{\ln (x)}{x}\,dx\,</math>
:: <math>t = \ln (x),\, dt = \frac{dx}{x}</math>
 
::<math>\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt</math>
Dengan menggunakan rumus di atas,
::<math>= \frac {1}{2} t^2 + C</math>
::<math>= \frac {1}{2} ln^2x + C</math>
\begin{aligned}
&\; \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \\
=&\; \int t\,dt \\
=&\; \frac{1}{2} t^2 + C \\
=&\; \frac{1}{2} \ln^2 x + C
\end{aligned}
</math>
 
=== Integrasi parsial ===
==== Cara 1: Rumus ====
:Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math>
 
Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan rumus.
;Cara 1
:: <math>\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'sin(x)\,dx </math>
: <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = \sin(x),\, v = -\cos(x)</math>
 
Dengan menggunakan rumus di atas,
:Contoh soal:
: <math>
:Cari nilai dari: <math>\int \ln x \,dx\,</math>
\begin{aligned}
::'''<math>f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,</math>'''
&\; \int x \sin(x)\,dx \\
::Gunakan rumus di atas
::<math>=&\int \ln; (x)(-\ dx = x ln cos(x)) - \int (-\cos(x\frac{))(1}{x}\,dx) \\,</math>
::<math>=&\; -x ln \cos(x) -+ \int 1\cos(x)\,dx \\,</math>
::<math>=&\; -x ln \cos(x) -+ \sin(x) + C\,</math>
\end{aligned}
</math>
 
;==== Cara 2: Tabel ====
Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class="wikitable"
|-
! TabelTanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || <math>g(x)u</math> || <math>\int f'(x) dx dv</math>
|-
| - || <math>g'(x)\frac{du}{dx}</math> || <math>f(x)v</math>
|-
| + || <math>g''(x)\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math>
|}
::<math>\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx </math>
 
Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan tabel.
:Contoh soal:
:Cari nilai dari: <math>\int \ln x \sin(x)\,dx\,</math>
{| class="wikitable"
|-
! TabelTanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || <math>ln x</math> || <math>\int 1 dx sin(x)</math>
|-
| - || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>-\cos(x)</math>
|-
| + || <math>-\frac{1}{x^2}0</math> || <math>-\frac{1}{2} sin(x^2)</math>
|}
 
::GunakanDengan rumustabel di atas,
: <math>
::<math>\int \ln x\ dx = x ln x - \frac{1}{x} \frac{1}{2} x^2 + C\,</math> (?)
\begin{aligned}
::<math>= x ln x - \frac{1}{2} x + C\,</math> (?)
&\; \int x \sin(x)\,dx \\
=&\; (x)(-\cos(x)) - (1)(-\sin(x)) + C \\
=&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C
\end{aligned}
</math>
 
=== Substitusi trigonometri ===
{| class="wikitable"
::<table>
|-
<tr><td width=150>Bentuk<td width=150>Gunakan</tr>
! Bentuk !! Trigonometri
<tr><td><math>\sqrt{a^2-b^2x^2}\,</math>
|-
<td><math>x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,</math></tr>
<tr><td>| <math>\sqrt{a^2+ - b^2x2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sin(\,alpha)</math>
|-
<td><math> \!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,</math></tr>
<tr><td>| <math>\sqrt{a^2 + b^2x^2-a x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\tan(\,alpha)</math>
|-
<td><math>\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,</math></tr>
| <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sec(\alpha)</math>
</table>
|}
 
Berikut contoh penyelesaian secara substitusi trigonometri.
:Contoh soal:
:Cari nilai dari: <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}\,</math>
:: <math>x = 2 \tan (A),\, dx = 2 \sec^2 (A)\,dA\,</math>
::<math>\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,</math>
::<math>= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,</math>
::<math>= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,</math>
::<math>= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,</math>
::<math>= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,</math>
::<math>= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,</math>
::<math>= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,</math>
::<math>= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,</math>
::<math>= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,</math>
 
Dengan substitusi di atas,
:::Cari nilai dari: <math>\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,</math> dengan menggunakan substitusi
: <math>
:::<math>t = sin A, dt = cos A\,dA\,</math>
\begin{aligned}
:::<math>\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,</math>
:::<math>=&\; \int \frac{dtdx}{tx^2\sqrt{x^2+4}} \\,</math>
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(2 \tan(A))^2\sqrt{4 + (2 \tan(A))^2}} \\
:::<math>= \int t^{-2}\,dt\,</math>
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 + 4 \tan^2(A)}} \\
:::<math>= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,</math>
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4(1 + \tan^2(A))}} \\
::*
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 \sec^2(A)}} \\
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(4 \tan^2(A))(2 \sec(A))} \\
=&\; \int \frac{\sec(A)\,dA}{4 \tan^2(A)} \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec(A)\,dA}{\tan^2(A)} \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA
\end{aligned}
</math>
 
Substitusi berikut dapat dibuat.
::Masukkan nilai tersebut:
:: <math>= \frac {1}{4}\int \frac{\cos (A)}{\sin^2A2(A)}\,dA\,</math>
:: <math>t = \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin (A}),\, +dt C= \cos(A)\,dA</math>
::<math>= -\frac {1}{4 sin A} + C\,</math>
 
Dengan substitusi di atas,
::Nilai sin A adalah <math>\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}</math>
: <math>
::<math>= -\frac {1}{4 sin A} + C\,</math>
\begin{aligned}
::<math>= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,</math>
&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C
\end{aligned}
</math>
 
Ingat bahwa <math display="inline">\sin(A) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku.
: <math>
\begin{aligned}
&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \\
=&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4 x} + C
\end{aligned}
</math>
 
=== Integrasi pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian secara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
:Contoh soal:
:Cari nilai dari: <math>\int \frac{dx}{x^2 - 4}\,</math>
 
::<math>\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,</math>
Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
::<math>= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,</math>
: <math>
::<math>= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,</math>
\begin{aligned}
::<math>=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,</math>
&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
</math>
 
:AkanKita diperolehtahu dua persamaan yaitubahwa <math display="inline">A + B = 0\,</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}}
:Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil <math>A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,</math>
 
: <math>
::<math>\int\frac{dx}{x^2-4}\,</math>
\begin{aligned}
::<math>= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,</math>
::<math>=&\; \int \frac{1dx}{4} (ln|x-^2| - ln|x+2|)4} + C\,</math>\
::<math>=&\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} ln|+ \frac{x-21}{4 (x+2}| +- C2)}\,</math>dx \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C
\end{aligned}</math>
 
== Rumus integrasi dasar ==
=== Umum ===
: <math>
:<math>\int x^n dx= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\,</math> ; n ≠ -1
\int x^n\,dx = \begin{cases}
\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C & n \neq -1 \\
\ln|x| + C & n = -1
\end{cases}
</math>
 
=== Eksponen dan bilangan natural ===
: <math>\int e^x \,dx= e^x + C\,</math>
: <math>\int a^x \,dx= \frac{a^x}{\ln (a)} + C\,</math> ; \quad a ≠\neq 1 dan\land a > 0</math>
 
=== Logaritma dan bilangan natural ===
: <math>\int \frac{1}{x} \,dx = \ln |x| + C</math>
: <math>\int \ln (x )\,dx = x \ln (x) - x + C = x \ln \left(\frac{x}{e}\right) + C</math>
: <math>\int \log_a(x) \,dx = x \log_a(x) - \frac{x}{\ln(a)} + C = x \log_a \left(\frac{x}{e}\right) + C</math>
 
=== Trigonometri ===
: <math>\int \sin (x)\,dx = -\cos (x) + C\,</math>
: <math>\int \cos (x)\,dx = \sin (x) + C\,</math>
: <math>\int \tan (x)\,dx = \ln |\sec (x)| + C\,</math>
: <math>\int \cot (x)\,dx = - \ln |\csc (x)| + C\,</math>
: <math>\int \sec (x)\,dx = \ln |\sec (x) + \tan (x)| + C\,</math>
: <math>\int \csc (x)\,dx = - \ln |\csc (x) + \cot (x)| + C\,</math>
: <math>\int \sin^2 (x)\,dx = \frac{1}{2} (x - \sin (x) \cos (x)) + C\,</math>
: <math>\int \cos^2 (x)\,dx = \frac{1}{2} (x + \sin (x) \cos (x)) + C\,</math>
: <math>\int \tan^2 (x)\,dx = \tan (x) - x + C\,</math>
: <math>\int \cot^2 (x)\,dx = -\cot (x) - x + C\,</math>
: <math>\int \sec^2 (x)\,dx = \tan (x) + C\,</math>
: <math>\int \csc^2 (x)\,dx = -\cot (x) + C\,</math>
: <math>\int \sec (x) \tan (x)\,dx = \sec (x) + C\,</math>
: <math>\int \csc (x) \cot (x)\,dx = -\csc (x) + C\,</math>
 
; Inversi
;Invers
: <math>\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin (x) + C\,</math>
: <math>\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan (x) + C\,</math>
: <math>\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \arcsec (x) + C\,</math>
 
=== Hiperbolik ===
: <math>\int \sinh (x)\,dx = \cosh (x) + C\,</math>
: <math>\int \cosh (x)\,dx = \sinh (x) + C\,</math>
<!--
: <math>\int \sech^2 (x)\,dx = \tanh (x) + C\,</math>
: <math>\int \csch^2 (x)\,dx = -\coth (x) + C\,</math>
: <math>\int \sech (x) \tanh (x)\,dx = -\sech (x) + C\,</math>
: <math>\int \csch (x) \coth (x)\,dx = -\csch (x) + C\,</math>
-->
 
== Panjang busur ==
* Sumbu ''x''
: <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt {1 + (f'(x))^2} \,dx</math>
 
* Sumbu ''y''
: <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt {1 + (f'(y))^2} \,dy</math>
 
== Luas daerah ==
=== Satu kurva ===
* Sumbu ''x''
: <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \,dx</math>
 
* Sumbu ''y''
: <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y) \,dy</math>
 
=== Dua kurva ===
* Sumbu ''x''
: <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1)) \,dx</math>
 
* Sumbu ''y''
: <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1)) \,dy</math>
 
atau juga <math>L = \frac {D \sqrt {D}}{6a6 a^2}</math>
 
== Luas permukaan benda putar ==
* Sumbu ''x''
: <math>L = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x) \,ds</math>
: dengan <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math>
 
dimana <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2} dx</math>
 
* Sumbu y
: <math>L = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y) ds</math>
 
* Sumbu ''y''
dimana <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y)))^2} dy</math>
: <math>L = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math>
: dengan <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y)))^2}\,dy</math>
 
== Volume benda putar ==
=== Satu kurva ===
* Sumbu ''x''
: <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 \,dx</math>
 
* Sumbu ''y''
: <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2 \,dy</math>
 
=== Dua kurva ===
* Sumbu ''x''
: <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2) \,dx</math>
 
* Sumbu ''y''
: <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2) \,dy</math>
 
== Contoh ==
Baris 346 ⟶ 389:
* {{id}} [http://orinetz.com/blog/viewblogentry.php?specific=X7ID9BQDVWQ51XJ5A2VD2M3EA&orinetz_lang=2 Operator Integrasi Berulang]
 
[[Kategori:Integral| ]]
 
[[da:Integralregning]]
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/wiki/Integral"