Geometri aritmetika: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
←Membuat halaman berisi '{{short description|Cabang geometri aljabar yang berfokus pada permasalahan dalam teori bilangan}} Berkas:Example of a hyperelliptic curve.svg|jmpl|[[Kurva hiperelip...' |
maraton |
||
Baris 23:
Pada 1949, [[André Weil]] mengemukakan [[konjektur Weil]] mengenai [[fungsi zeta lokal]] dari varietas aljabar di atas medan hingga.<ref>{{cite journal | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 | mr=0029393 | year=1949 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=55 | pages=497–508 | issue=5}} Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil {{isbn|0-387-90330-5}}</ref> Konjektur ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong [[Alexander Grothendieck]] menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan [[teori gemal]] (bersama dengan [[Jean-Pierre Serre]]), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an.<ref>{{cite journal | last1 = Serre | first1 = Jean-Pierre | year = 1955 | title = Faisceaux Algebriques Coherents | url = | journal = The Annals of Mathematics | volume = 61 | issue = 2| pages = 197–278 | doi=10.2307/1969915| jstor = 1969915 }}</ref> [[Bernard Dwork]] membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960.<ref>{{cite journal | last1=Dwork | first1=Bernard | author1-link=Bernard Dwork | title=On the rationality of the zeta function of an algebraic variety | jstor=2372974 | mr=0140494 | year=1960 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=82 | pages=631–648 | doi=10.2307/2372974 | issue=3 | publisher=American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3}}</ref> Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan [[Michael Artin]] dan [[Jean-Louis Verdier]]) pada 1965.<ref name="grothendieck-cohomology">{{cite book | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958) | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0130879 | year=1960 | chapter=The cohomology theory of abstract algebraic varieties | pages=103–118|chapter-url=http://grothendieckcircle.org/}}</ref><ref>{{cite book | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Séminaire Bourbaki | chapter-url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__41_0 | publisher=[[Société Mathématique de France]] | location=Paris | mr=1608788 | year=1995 | volume=9 | chapter=Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L | pages=41–55|origyear=1965 |ref= {{harvid|Grothendieck|1965}} }}</ref> Konjektur Weil terakhir (analog dari [[hipotesis Riemann]]) akhirnya terbukti pada 1974 oleh [[Pierre Deligne]].<ref>{{cite journal | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=La conjecture de Weil. I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 | mr=0340258 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | volume=43 | issn=1618-1913 | issue=43 | pages=273–307| doi=10.1007/BF02684373 }}</ref>
=== Pertengahan hingga akhir abad ke-20: perkembangan dalam modularitas, metode p-adic, dan seterusnya ===
Antara 1956 dan 1957, [[Yutaka Taniyama]] dan [[Goro Shimura]] mengemukakan [[Teorema modularitas|konjektur Taniyama–Shimura]] (sekarang dikenal sebagai teorema modularitas) mengaitkan [[kurva eliptik]] dengan [[bentuk modular]].<ref>{{cite journal|last=Taniyama|first=Yutaka |journal=Sugaku|volume=7|page=269|year=1956|title=Problem 12|language=Japanese}}</ref><ref>{{cite journal | last1=Shimura | first1=Goro | title=Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections | doi=10.1112/blms/21.2.186 | mr=976064 | year=1989 | journal=The Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=21 | issue=2 | pages=186–196}}</ref> Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke [[Pembuktian Wiles pada Teorema Terakhir Fermat|pembuktian pertama]] [[Teorema Terakhir Fermat]] dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar [[Angkat (matematika)|pengangkatan modularitas]] yang dikembangkan oleh [[Andrew Wiles]] pada 1995.<ref name="wiles1995">{{cite journal|last=Wiles|first=Andrew|authorlink=Andrew Wiles|year=1995|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf|journal=Annals of Mathematics|volume=141|issue=3|pages=443–551|oclc=37032255|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559|citeseerx=10.1.1.169.9076}}</ref>
Pada 1960-an, Goro Shimura memperkenalkan [[varietas Shimura]] sebagai generalisasi [[kurva modular]].<ref>{{cite book|last=Shimura|first=Goro|title=The Collected Works of Goro Shimura|publisher=Springer Nature|isbn=978-0387954158|year=2003}}</ref> Sejak 1979, varietas Shimura memainkan peran penting pada [[program Langlands]] sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur.<ref>{{cite book|title=Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics|publisher=Chelsea Publishing Company|editor-last1=Borel|editor-first1=Armand|editor-link1=Armand Borel|editor-last2=Casselman|editor-first2=William|editor-link2=Bill Casselman (mathematician)|year=1979|volume=XXXIII Part 1|last=Langlands|first=Robert|authorlink=Robert Langlands|chapter-url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/pdf/autoreps-ps.pdf|chapter=Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen|pages=205–246}}</ref>
Pada makalah tahun 1977 dan 1978, [[Barry Mazur]] membuktikan [[konjektur torsi]] dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional. Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah [[kurva modular]].<ref>{{cite journal|last=Mazur|first=Barry|authorlink=Barry Mazur|title=Modular curves and the Eisenstein ideal|volume=47|issue=1|pages=33–186|year=1977|doi=10.1007/BF02684339|mr=0488287|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|ref=harv|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1977__47__33_0/}}</ref><ref>{{cite journal|last=Mazur|first=Barry|title=Rational isogenies of prime degree|volume=44|issue=2|pages=129–162|year=1978|doi=10.1007/BF01390348|mr=0482230|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|others=with appendix by [[Dorian Goldfeld]]|bibcode=1978InMat..44..129M}}</ref> Pada 1996, pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh [[Loïc Merel]].<ref>{{cite journal | last1=Merel | first1=Loïc | author1link=Loïc Merel | title=Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres | trans-title=Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields | language=French | doi=10.1007/s002220050059 |mr=1369424 | year=1996 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=124 | issue=1 | pages=437–449 | ref=harv| bibcode=1996InMat.124..437M }}</ref>
Pada 1983, [[Gerd Faltings]] membuktikan [[Teorema Faltings|konjektur Mordell]], mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga (teorema Mordell–Weil hanya mendemonstrasikan [[grup abel terbangkit hingga|pembangkitan hingga]] himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan).<ref>{{cite journal |authorlink=Gerd Faltings| last=Faltings |first=Gerd |year=1983 |title=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=73 |issue=3 |pages=349–366 |doi=10.1007/BF01388432 | mr=0718935 | trans-title=Finiteness theorems for abelian varieties over number fields | language=de | ref=harv}}</ref><ref>{{cite journal |last=Faltings |first=Gerd |year=1984 |title=Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=75 |issue=2 |pages=381 |doi=10.1007/BF01388572 | mr=0732554 | language=de | ref=harv}}</ref>
Pada 2001, pembuktian [[Konjektur Langlands lokal #Konjektur Langlands lokal untuk GLn|konjektur Langlands lokal untuk GL<sub>n</sub>]] berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura.<ref>{{cite book | author1-link=Michael Harris (mathematician)| last1=Harris | first1=Michael | author2-link=Richard Taylor (mathematician)| last2=Taylor | first2=Richard | title=The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties | url=https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-09090-0 | mr=1876802 | year=2001 | volume=151}}</ref>
Pada 2010-an, [[Peter Scholze]] mengembangkan [[ruang perfektoid]] dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetik di atas bidang p-adic dengan penerapan [[wakilan Galois]] dan sejumlah kasus [[konjektur bobot-monodromi]].<ref>{{cite web |title=Fields Medals 2018 |url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2018 |publisher=[[International Mathematical Union]] |accessdate=2 Agustus 2018}}</ref><ref>{{cite web|last=Scholze|first=Peter|url=http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/CDM.pdf|title=Perfectoid spaces: A survey|website=University of Bonn|accessdate=4 November 2018}}</ref>
== Lihat pula ==
| |||