Buka menu utama

Perubahan

952 bita ditambahkan ,  2 bulan yang lalu
Transposisi, grup berayun (alternating group)
1 & 2 & 3 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
 
Urutan unsur-unsur pada baris pertama dapat ditulis sebarang asalkan konsisten (baris kedua adalah hasil pemetaan dari baris pertama di kolom yang sama).
 
 
 
Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math><ref name="durbin" />. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>. <ref name = "strukal_ab"> {{Cite book|title=Catatan Kuliah Struktur Aljabar|year=2015|last=Barra|first=Aleams}}</ref>
 
Karena permutasi adalah suatu [[bijeksi]], ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks <math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>, invers dari <math>\sigma</math>yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu, <math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
 
Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[Kelipatan_persekutuan_terkecil|kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>. <ref name = "inh" />
 
Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.<ref name="strukal_ab" /> Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). <ref>{{Cite book|edition=3rd ed|title=A first course in abstract algebra : with applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/61309485|publisher=Pearson Prentice Hall|date=2006|location=Upper Saddle River, N.J.|isbn=0131862677|oclc=61309485|last=Rotman, Joseph J., 1934-}}</ref> Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. <ref name="inh" /> Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik. <ref name="inh" />
 
==Teorema Cayley==
42

suntingan