Buka menu utama

Perubahan

Tidak ada perubahan ukuran, 2 bulan yang lalu
maraton
Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup_(matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>. <ref name="durbin"> {{Cite book|title=Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition|publisher=John Willey and Sons, Inc|year=2009|isbn=978-0470-38443-5|last=Durbin|first=John R.}} </ref>

Dari teorema Cayley, setiap grup dengan orde hingga isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.

==Notasi==
Untuk suatu himpunan <math>M</math>, permutasi <math>\sigma</math> atas <math>M</math> adalah suatu bijeksi <math>\sigma: M \rightarrow M</math>. Sebagai contoh, untuk himpunan <math>M = \{1,2,3,4\}</math>, salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi <math> \sigma </math> yang memenuhi
:<math> \sigma(1) = 3, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 2</math> dan <math> \sigma(4) = 4 </math>. Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>
atau secara umum, unsur dalam grup permutasi <math> S_n </math> dapat ditulis sebagai matriks
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.
Urutan unsur-unsur pada baris pertama dapat ditulis sebarang asalkan konsisten (baris kedua adalah hasil pemetaan dari baris pertama di kolom yang sama). <ref name = "durbin" />


Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.
Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>. <ref name = "strukal_ab"> {{Cite book|title=Catatan Kuliah Struktur Aljabar|year=2015|last=Barra|first=Aleams}}</ref>

== Dekomposisi Putaran ==
Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas <ref name = "inh" />. Sebagai contoh, permutasi
:<math>\sigma = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
6 & 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}</math>
dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[Kelipatan_persekutuan_terkecil|kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>. <ref name = "inh" />

==Teorema Cayley==
Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math> <ref name = "inh">{{Cite book|title=Abstract Algebra, Third Edition|year=1995|last=Herstein|first=Israel Nathan}}</ref>. Sebagai contoh, tinjau suatu grup <math>G</math> dengan unsur-unsurnya <math>\{e, a, b, c = ab = ba\}</math>. Dapat didefinisikan suatu isomorfisma <math> \phi: G \rightarrow S_4 </math> dengan <math>\phi(g) = f_g(x)</math> dan <math>f_g(x) = gx</math> suatu bijeksi dari <math>G</math> ke <math>G</math>. Kita dapatkan pemetaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai putaran berikut:
:<math>\phi(e) = f_e(x) = (e)(a)(b)(c)</math>
:<math>\phi(a) = f_a(x) = (ea)(bc)</math>
:<math>\phi(b) = f_b(x) = (eb)(ac)</math>
:<math>\phi(e) = f_c(x) = (ec)(ba)</math>
Isomorfisma inilah yang dimaksudkan dalam teorema Cayley.
==Referensi==
{{reflist}}

{{Bidang matematika}}
[[Kategori:Matematika]]
42

suntingan