Bilangan riil: Perbedaan antara revisi

'''Bilangan riil''' atau '''bilangan real''' dalam [[matematika]] menyatakan [[bilangan]] yang bisa dituliskan dalam bentuk [[desimal]], seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangareal meliputi [[bilangan rasional]], seperti 42 dan −23/129, dan [[bilangan irasional]], seperti π dan <math> \sqrt2 </math>. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.<ref name="schaum">{{cite book|title=Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut|last=Wrede|first=Robert|coauthors=Murray R. Spiegel|publisher=Penerbit Erlangga|year=2007|pages=1-2|chapter=Bilangan}}</ref>

 

Bilangan riil ini berbeda dengan [[bilangan kompleks]] yang termasuk di dalamnya adalah [[bilangan imajiner]].

 

 

Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat&nbsp;- dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada [[abad ke-19]]. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap {{nowrap|('''R''' ; + ; · ; <),}} sampai ke suatu isomorfisma,<ref>Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma ''unik'' di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan riil adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.</ref> sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk [[bilangan rasional]], irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia [[matematika klasik]]

* Aksioma 8: Untuk setiap ''x'' yang tidak sama dengan ''0'', ''x'' anggota '''R+''' atau ''-x'' anggota '''R+''', tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus

* Aksioma 9: ''0'' bukan anggota '''R+'''.

=== Aksioma kelengkapan ===

* Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil ''S'' yang memiliki batas atas memiliki [[supremum]], yakni ada suatu bilangan riil ''B'' sehingga ''B''=sup(''S'').