Buka menu utama

Perubahan

Relasi biner

22 bita ditambahkan, 10 tahun yang lalu
k
Robot: Cosmetic changes
'''Relasi''', dalam [[matematika]], adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.
 
== Definisi ==
Jika terdapat himpunan ''A'' dan himpunan ''B'' (''A'' bisa sama dengan ''B''), maka relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' adalah [[subhimpunan]] dari ''A''×''B''.
:<math>R_{AB} \subseteq A \times B</math>
 
== Relasi dan fungsi proposisi ==
Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah [[fungsi proposisi]] atau [[kalimat terbuka]] yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
 
Sebagai contoh, pandang himpunan ''B'' = { ''apel, jeruk, mangga, pisang'' } dengan himpunan ''W'' = { ''hijau, kuning, orange''}. Suatu relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' didefinisikan sebagai ''R'' = {(''apel, hijau''), (''jeruk, orange''), (''mangga, hijau''), (''pisang, kuning'')}. Terdapat fungsi proposisi ''w''(''x, y'') = "''x'' berwarna ''y''", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(''apel, hijau''), (''jeruk, orange''), (''mangga, hijau''), (''pisang, kuning'')}, yang tidak lain adalah relasi ''R''.
 
== Relasi A×A ==
Sebuah relasi ''A''×''A'', yaitu relasi dari himpunan ''A'' kepada ''A'' sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
*Refleksif
Kita menyebut relasi ''R'' dari ''A'' kepada ''A'' sebagai relasi ''R'' dalam ''A''.
 
=== Relasi Refleksif ===
Sebuah relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen ''A'' berhubungan dengan dengan dirinya sendiri.
:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R </math>
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “''x'' selalu bersama ''y''.”, dengan ''x'' dan ''y'' adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.
 
=== Relasi Irefleksif ===
Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen ''A'' tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R </math>
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.
 
=== Relasi Simetrik ===
Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota ''A'' berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika ''a'' terhubung dengan ''b'', maka ''b'' juga terhubung dengan ''a''. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R</math>
Sebuah relasi “<math>x+y</math> genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang ''x'' dan ''y'' yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai ''y'' dan ''x'', relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
 
=== Relasi Anti-simetrik ===
Jika setiap ''a'' dan ''b'' yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi ''a'' dan ''b'' berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)</math>
Relasi <math>\leq</math> bersifat anti-simetrik, karena <math>5 \leq 6</math> mengakibatkan <math>\lnot (6 \leq 5)</math>. Demikian juga jika ada ''p'' dan ''q'' yang terhadap mereka berlaku <math>p \leq q</math> dan <math>q \leq p</math> berarti <math>p = q</math>.
 
=== Relasi Transitif ===
Sebuah (a,b) \in R \wedge (bin R \rightarrow (a,c) \in R</math>
atau
Sebagai contoh, relasi uad transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.
 
== Relasi khusus ==
=== Relasi Ekivalen ===
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:
*Refleksif
Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan [[partisi]], yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.
 
=== Orde Parsial ===
Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
*Refleksif
*Transitif
 
== Lihat pula ==
* [[Teori himpunan]]
* [[Himpunan]]
259.487
suntingan