Matematika: Perbedaan antara revisi

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam [[ilmu pengetahuan alam]], dan [[kalkulus]] telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyelidikinya. [[Fungsi (matematika)|Fungsi-fungsi]] muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang [[bilangan real]] dan fungsi-fungsi berperubah real dikenal sebagai [[analisis riil]], dengan [[:en:Complex analysis|analisis kompleks]] lapangan yang setara untuk [[bilangan kompleks]].

Banyak objek matematika, semisal [[Himpunan (matematika)|himpunan]] bilangan dan [[fungsi (matematika)|fungsi]], memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian [[grup (matematika)|grup]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[lapangan (matematika)|lapangan]] dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan [[aljabar abstrak]]. Sebuah konsep penting di sini yakni [[Vektor (geometri)|vektor]], diperumum menjadi [[ruang vektor]], dan dikaji di dalam [[aljabar linear]]. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. [[Kalkulus vektor]] memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. [[:en:Tensor calculus|Kalkulus tensor]] mengkaji [[kesetangkupan]] dan perilaku vektor yang di[[rotasi]]. Sejumlah masalah kuno tentang [[:en:Compass-and-straightedge construction|Kompas dan konstruksi garis lurus]] akhirnya terpecahkan oleh [[:en:Galois theory|Teori Galois]].

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, kumpulan sembarang aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam [[:En:Computability theory|teori rekursi]], [[:en:model theory|teori model]], dan [[:en:proof theory|teori pembuktian]], dan terpaut dekat dengan [[ilmu komputer]] [[:en:Theoretical computer science|teoretis]].

[[Matematika diskret]] adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam [[:en:Theoretical computer science|ilmu komputer teoretis]]. Ini menyertakan [[:en:Computability theory (computation)|teori komputabilitas]], [[:en:computational complexity theory|teori kompleksitas komputasional]], dan [[teori informasi]]. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - [[Mesin turing]].

Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan [[perangkat keras]] komputer. Pamungkas, teoriTeori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanyasebab itu berkenaan dengan konsep-konsep semisal [[:en:Data compression|pemadatan]] dan [[:en:Entropy (information theory)|entropi]].

[[Matematika terapan]] berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam [[ilmu pengetahuan]], [[bisnis]], dan wilayah lainnya. SebuahSalah satu lapanganbagian penting di dalam matematika terapan adalah [[statistika]], yang menggunakan [[teori peluang]] sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana [[probabilitas|peluang]] berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak [[statistikawan]], tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)