Integral Gauss

Teorema

Integral Gauss, juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson, adalah integral fungsi Gauss ex2 di sepanjang garis riil. Konsep ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss. Integral ini adalah:

Grafik f(x) = ex2 dan luas di antara fungsi tersebut dan sumbu x, yang sama dengan .

Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi distribusi normal. Integral yang sama dengan limit yang terbatas sangat terkait dengan fungsi error dan fungsi distribusi kumulatif distribusi normal. Integral ini juga sering digunakan dalam ilmu fisika (khususnya mekanika kuantum).

PenghitunganSunting

Koordinat polarSunting

Cara standar untuk menghitung integral Gauss adalah dengan menggunakan koordinat polar.

 

  • Pertimbangkan fungsi e−(x2 + y2) = er2 di bidang R2, dan hitung integral dengan dua cara:
    1. di satu sisi, dengan integral lipat dalam sistem koordinat Kartesius, integralnya dilipatkan dua:
       
    2. di sisi lain, apabila menggunakan integral kulit tabung (integrasi lipat dalam sistem koordinat polar), hasilnya adalah π.

Berikut adalah penyelesaian yang menunjukkan bahwa hasilnya adalah pi:

 

Kaitannya dengan fungsi gammaSunting

Integral adalah fungsi genap

 

Jadi, setelah perubahan variabel  , hal ini berubah menjadi integral Euler

 

dari mana   adalah fungsi gamma. Ini menunjukkan mengapa faktorial dari setengah bilangan bulat adalah kelipatan rasional dari  . Secara lebih umum,

 

yang bisa diperoleh dengan mengganti   di integand fungsi gamma untuk mendapatkan   .

GeneralisasiSunting

Integral dari fungsi GaussianSunting

Integral dari fungsi Gaussian adalah

 

Bentuk alternatifnya adalah

 

Formulir ini berguna untuk menghitung ekspektasi dari beberapa distribusi probabilitas berkelanjutan yang terkait dengan distribusi normal, seperti distribusi log-normal, contohnya.

n-generalisasi dimensi dan fungsionalSunting

Seharusnya A adalah positif simetri (karena dapat dibalik) n × n matriks presisi, yang merupakan matriks kebalikan dari matriks kovariansi. Setelah itu

 

darimana integral dipahami berakhir Rn. Fakta ini diterapkan dalam studi tentang distribusi normal multivariat.

juga,

 

dari mana σ adalah permutasi dari {1, ..., 2N} dan faktor tambahan di sisi kanan adalah jumlah dari semua pasangan kombinatorial {1, ..., 2N} untuk N salinan dari A−1.

sbg kemungkinan lain,[1]

 

untuk beberapa fungsi analitik f, asalkan memenuhi beberapa batasan yang sesuai pada pertumbuhannya dan beberapa kriteria teknis lainnya. (Hal tersebut berfungsi untuk beberapa fungsi dan gagal untuk yang lain.) Eksponensial di atas operator diferensial dipahami sebagai deret pangkat.

Sementara integral fungsional tidak memiliki definisi yang ketat (atau bahkan komputasi nonrigorous dalam banyak kasus), kita dapat mendefinisikan integral fungsional Gaussian dalam analogi kasus berdimensi hingga.[butuh rujukan] Meski begitu, masih ada masalah antara   adalah tak hingga dan juga, determinan fungsional juga tak hingga secara umum. Ini dapat dilakukan jika kita hanya mempertimbangkan rasio:

 

Dalam notasi DeWitt, persamaan terlihat identik dengan kasus berdimensi hingga.

n-dimensi dengan istilah linierSunting

Jika A lagi-lagi adalah matriks pasti-positif simetris, maka (dengan asumsi semua adalah vektor kolom)

 

Integral dengan bentuk serupaSunting

 
 
 
 
 

dari mana   adalah bilangan bulat positif dan   menunjukkan faktorial ganda.

Cara mudah untuk menurunkannya adalah dengan membedakan di bawah tanda integral.

 

Seseorang juga bisa berintegrasi dengan bagian-bagian dan menemukan relasi pengulangan untuk menyelesaikannya.

Polinomial tingkat tinggiSunting

Menerapkan perubahan basis linier menunjukkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada n variabel mungkin hanya bergantung pada SL(n)-invarian dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan, nol yang menandai singularitas integral. Namun, integral mungkin juga bergantung pada invarian lainnya.[2]

Eksponensial dari polinomial genap lainnya dapat diselesaikan secara numerik menggunakan nilai deret. Ini dapat diartikan sebagai kalkulasi formal jika tidak ada konvergensi. Misalnya, solusi untuk integral dari eksponensial polinomial kuartik adalah[butuh rujukan]

 


Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ "Referensi untuk Multidimensi Gaussian Integral". Stack Exchange. Maret 30, 2012. 
  2. ^ Morozov, A.; Shakirove, Sh. (2009). "Pengantar diskriminan integral". Journal of High Energy Physics. 12: 002. arXiv:0903.2595 . doi:10.1088/1126-6708/2009/12/002. 

Daftar pustakaSunting

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. Integral.html "Gaussian Integral" Periksa nilai |url= (bantuan). MathWorld. 

  • Griffiths, David. Pengantar Mekanika Kuantum (edisi ke-2nd). 
  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A. Buku Pegangan Fungsi Matematika. New York: Dover Publications.