Integral Gauss

Integral Gauss, juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson, adalah integral fungsi Gauss e^−x2 di sepanjang garis riil. Konsep ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss. Integral ini adalah:

Grafik f(x) = e^−x2 dan luas di antara fungsi tersebut dan sumbu x, yang sama dengan $\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$.

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi distribusi normal. Integral yang sama dengan limit yang terbatas sangat terkait dengan fungsi error dan fungsi distribusi kumulatif distribusi normal. Integral ini juga sering digunakan dalam ilmu fisika (khususnya mekanika kuantum).

Penghitungan

Koordinat polar

Cara standar untuk menghitung integral Gauss adalah dengan menggunakan koordinat polar.

$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy$

• Pertimbangkan fungsi e^{−(x2 + y2)} = e^−r2 di bidang R², dan hitung integral dengan dua cara:
  1. di satu sisi, dengan integral lipat dalam sistem koordinat Kartesius, integralnya dilipatkan dua:

     $\left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};$

  2. di sisi lain, apabila menggunakan integral kulit tabung (integrasi lipat dalam sistem koordinat polar), hasilnya adalah π.

Berikut adalah penyelesaian yang menunjukkan bahwa hasilnya adalah pi:

${\begin{aligned}\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y)&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\&=\pi ,\end{aligned}}$

Kaitannya dengan fungsi gamma

Integral adalah fungsi genap

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$

Jadi, setelah perubahan variabel $x={\sqrt {t}}$, hal ini berubah menjadi integral Euler

$2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

dari mana $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$ adalah fungsi gamma. Ini menunjukkan mengapa faktorial dari setengah bilangan bulat adalah kelipatan rasional dari ${\sqrt {\pi }}$. Secara lebih umum,

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}},$

yang bisa diperoleh dengan mengganti $t=ax^{b}$ di integand fungsi gamma untuk mendapatkan $\Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}e^{-ax^{b}}dx$ .

Generalisasi

Integral dari fungsi Gaussian

Artikel utama: Integral dari fungsi Gaussian

Integral dari fungsi Gaussian adalah

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.$

Bentuk alternatifnya adalah

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}.$

Formulir ini berguna untuk menghitung ekspektasi dari beberapa distribusi probabilitas berkelanjutan yang terkait dengan distribusi normal, seperti distribusi log-normal, contohnya.

n-generalisasi dimensi dan fungsional

Artikel utama: distribusi normal multivariat

Seharusnya A adalah positif simetri (karena dapat dibalik) n × n matriks presisi, yang merupakan matriks kebalikan dari matriks kovariansi. Setelah itu

$\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{T}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}$

darimana integral dipahami berakhir Rⁿ. Fakta ini diterapkan dalam studi tentang distribusi normal multivariat.

juga,

$\int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}$

dari mana σ adalah permutasi dari {1, ..., 2N} dan faktor tambahan di sisi kanan adalah jumlah dari semua pasangan kombinatorial {1, ..., 2N} untuk N salinan dari A⁻¹.

sbg kemungkinan lain,

$\int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}$

untuk beberapa fungsi analitik f, asalkan memenuhi beberapa batasan yang sesuai pada pertumbuhannya dan beberapa kriteria teknis lainnya. (Hal tersebut berfungsi untuk beberapa fungsi dan gagal untuk yang lain.) Eksponensial di atas operator diferensial dipahami sebagai deret pangkat.

Sementara integral fungsional tidak memiliki definisi yang ketat (atau bahkan komputasi nonrigorous dalam banyak kasus), kita dapat mendefinisikan integral fungsional Gaussian dalam analogi kasus berdimensi hingga. Meski begitu, masih ada masalah antara $(2\pi )^{\infty }$ adalah tak hingga dan juga, determinan fungsional juga tak hingga secara umum. Ini dapat dilakukan jika kita hanya mempertimbangkan rasio:

${\frac {\int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}={\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).$

Dalam notasi DeWitt, persamaan terlihat identik dengan kasus berdimensi hingga.

n-dimensi dengan istilah linier

Jika A lagi-lagi adalah matriks pasti-positif simetris, maka (dengan asumsi semua adalah vektor kolom)

$\int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.$

Integral dengan bentuk serupa

$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}$

dari mana $n$ adalah bilangan bulat positif dan $!!$ menunjukkan faktorial ganda.

Cara mudah untuk menurunkannya adalah dengan membedakan di bawah tanda integral.

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}$

Seseorang juga bisa berintegrasi dengan bagian-bagian dan menemukan relasi pengulangan untuk menyelesaikannya.

Polinomial tingkat tinggi

Menerapkan perubahan basis linier menunjukkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada n variabel mungkin hanya bergantung pada SL(n)-invarian dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan, nol yang menandai singularitas integral. Namun, integral mungkin juga bergantung pada invarian lainnya.

Eksponensial dari polinomial genap lainnya dapat diselesaikan secara numerik menggunakan nilai deret. Ini dapat diartikan sebagai kalkulasi formal jika tidak ada konvergensi. Misalnya, solusi untuk integral dari eksponensial polinomial kuartik adalah

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0\mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}{(-a)^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.$

Lihat pula

• Daftar integral fungsi Gaussian
• Integral umum dalam teori medan kuantum
• Distribusi normal
• Daftar integral dari fungsi eksponensial
• Fungsi kesalahan
• Berezin terpisahkan

Daftar pustaka

• (Inggris)

Weisstein, Eric W. Integral.html "Gaussian Integral". MathWorld. 

• Griffiths, David. Pengantar Mekanika Kuantum (edisi ke-2nd). 
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. Buku Pegangan Fungsi Matematika. New York: Dover Publications.