Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh $f(x)=\lceil x\rceil ={\text{ceil}}(x)$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x$. Sebagai contoh, nilai dari $\lceil 0,\!8\rceil =1$. Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil.

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil

Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.

Sebaliknya, suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh $f(x)=\lfloor x\rfloor ={\text{floor}}(x)$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan $x$. Sebagai contoh, nilai dari $\lfloor 3,\!14\rfloor =3$. Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

$\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}$ dan $\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}$.

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (Inggris: integer part), di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan $[x]$ atau terkadang dinotasikan sebagai $\operatorname {int} (x)$ dan dirumuskan sebagai

$[x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}$.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau $\pi$ yang bernilai $3.1415926\dots$, maka $[\pi ]=3$. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}}\right]=0}$.

Sifat dan identitas

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:

• $\lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil$ untuk suatu $x$ bilangan real.
• $\lfloor x\rfloor =x$ dan $\lceil x\rceil =x$ jika dan hanya jika $x$ adalah bilangan bulat.
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =1$ jika $x$ adalah bilangan real dan $0$ bila $x$ bilangan bulat.
• Untuk suatu $n$ bilangan bulat, $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$.

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

• $[-x]=-[x]$

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:

• $\lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil =[x]$ untuk $x$ adalah bilangan bulat.

Kalkulus

Turunan

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila $x$ adalah bilangan bulat. Bila $x$ bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.

Integral

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

• $\int \lfloor x\rfloor \,\mathrm {d} x=x\lfloor x\rfloor$.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

• $\int \lceil x\rceil \,\mathrm {d} x=x\lceil x\rceil$.

Representasi deret

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$ asalkan $x$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

$\lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$ asalkan $x$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.