Citra (matematika)

Dalam matematika, citra dari fungsi adalah himpunan dari semua nilai keluaran yang mungkin dihasilkannya.

f adalah fungsi dari domain X ke codomain Y . Oval kuning di dalam Y adalah gambar f .

Lebih umum lagi, mengevaluasi fungsi f yang diberikan pada setiap elemen dari himpunan bagian A tertentu dari domain menghasilkan satu himpunan, yang disebut "citra dari A di bawah (atau melalui) fungsi.

Citra dan citra terbalik (citra invers) juga dapat didefinisikan untuk relasi biner, bukan hanya fungsi.

Definisi

Kata "citra" digunakan dalam tiga cara yang berhubungan. Dalam definisi ini, f : X → Y adalah fungsi dari himpunan X ke himpunan Y.

Citra unsur

Jika x adalah anggota dari X , maka gambar x di bawah f , dilambangkan f(x) , adalah nilai dari f ketika diterapkan ke x. f(x) secara alternatif dikenal sebagai keluaran dari f untuk argumen x .

Citra subhimpunan

Gambar dari subhimpunan A ⊆ X di bawah f , dilambangkan $f[A]$, adalah bagian dari Y yang dapat didefinisikan menggunakan notasi himpunan sebagai berikut:

$f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}$

Jika tidak ada risiko kebingungan, $f[A]$ hanya ditulis sebagai $f(A)$. Konvensi ini umum; makna yang dimaksudkan harus disimpulkan dari konteksnya. Ini membuat f[.] sebuah fungsi yang domain adalah kumpulan daya dari X (himpunan dari semua himpunan bagian dari X ), dan kodomain adalah kumpulan daya dari Y. Lihat § Notasi di bawah untuk lebih lanjut.

Notasi untuk gambar dan gambar terbalik

Notasi tradisional yang digunakan di bagian sebelumnya bisa membingungkan. Sebuah alternatif adalah memberikan nama eksplisit untuk citra dan pracitra sebagai fungsi antara himpunan daya:

Notasi panah

• $f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ dengan $f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}$
• $f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ dengan $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}$

Notasi bintang

• $f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ dari $f^{\rightarrow }$
• $f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ dari pada $f^{\leftarrow }$

Istilah lain

• Notasi alternatif untuk f[A] digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah f "A.
• Beberapa teks merujuk ke gambar f sebagai kisaran f , tetapi penggunaan ini harus dihindari karena kata "range" juga biasa digunakan untuk mengartikan kodomain dari f .

Contoh

1. f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d} didefinisikan oleh $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\a,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.$
   Citra dari himpunan {2, 3} di bawah f adalah f({2, 3}) = {a, c}. Citra fungsi f adalah {a, c}. Pracitra dari a adalah f ⁻¹({a}) = {1, 2}. Pracitra dari {a, b} juga merupakan {1, 2}. Pracitra dari {b, d} merupakan himpunan kosong {}.
2. f: R → R didefinisikan oleh f(x) = x².
   Citra dari {−2, 3} di bawah f merupakan f({−2, 3}) = {4, 9}, dan citra dari f adalah R⁺. Pracitra dari {4, 9} di bawah f adalah f ⁻¹({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Pracitra dari himpunan N = {n ∈ R | n < 0} di bawah f adalah himpunan kosong, karena bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat di himpunan real.
3. f: R² → R defined by f(x, y) = x² + y².
   Serat f ⁻¹({a}) adalah lingkaran konsentrik mengenai asal, asalnya itu sendiri, dan himpunan kosong, tergantung pada apakah masing-masing, a > 0, a = 0, or a < 0.
4. Jika M adalah manifold dan π: TM → M adalah kanonik proyeksi dari bundel tangen TM menjadi M , maka serat dari π adalah ruang tangen T_x(M) for x ∈ M. Ini juga merupakan contoh dari bundel serat.
5. Kelompok hasil bagi adalah gambar homomorfik.

Sifat

Lihat pula: Aljabar himpunan § Himpunan dan peta

Contoh kontra berdasarkan f:ℝ→ℝ, x↦x2, menunjukkan bahwa kesetaraan umumnya membutuhkan tidak berlaku untuk beberapa undang-undang:
f(A1∩A2) ⊊ f(A1) ∩ f(A2)
f(f−1(B3)) ⊊ B3
f−1(f(A4)) ⊋ A4

Umum

Untuk setiap fungsi $f:X\rightarrow Y$ dan semua himpunan bagian $A\subseteq X$ and $B\subseteq Y$, sifat berikut ini berlaku:

Galeri	Preimage
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (sama jika $B\subseteq f(X)$, misalnya $f$ adalah surjektif)	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (sama jika $f$ bersifat injektif)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

Juga:

• $f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Beragam fungsi

Untuk fungsi $f:X\rightarrow Y$ and $g:Y\rightarrow Z$ dengan himpunan bagian $A\subseteq X$ dan $C\subseteq Z$, sifat berikut ini berlaku:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Beragam himpunan bagian dari ranah atau kodomain

Untuk fungsi $f:X\rightarrow Y$ dan himpunan bagian $A_{1},A_{2}\subseteq X$ and $B_{1},B_{2}\subseteq Y$, properti berikut ini berlaku:

Image	Preimage
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})$

Hasil yang menghubungkan citra dan pracitra dengan aljabar (Boole) irisan dan gabungan untuk setiap kumpulan subhimpunan, tidak hanya untuk pasang himpunan bagian:

• $f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
• $f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Di sini, S bisa jadi tak hingga, bahkan himpunan taktercacah.)

Dengan terhadap aljabar himpunan bagian yang dijelaskan di atas, fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi, sedangkan fungsi gambar hanya homomorfisme semikekisi (yaitu, tidak selalu mempertahankan persimpangan).

Lihat pula

• Bijeksi, injeksi dan surjeksi
• Citra (teori kategori)
• Kernel fungsi
• Inversi himpunan

Referensi

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9. 
• Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5. .
• Templat:Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403. 

• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27 (edisi ke-2). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Templat:Munkres Topology