Citra (matematika)

himpunan semua nilai suatu fungsi

Dalam matematika, citra dari fungsi adalah himpunan dari semua nilai keluaran yang mungkin dihasilkannya.

f adalah fungsi dari domain X ke codomain Y . Oval kuning di dalam Y adalah gambar f .

Lebih umum lagi, mengevaluasi fungsi f yang diberikan pada setiap elemen dari himpunan bagian A tertentu dari domain menghasilkan satu himpunan, yang disebut "citra dari A di bawah (atau melalui) fungsi.

Citra dan citra terbalik (citra invers) juga dapat didefinisikan untuk relasi biner, bukan hanya fungsi.

DefinisiSunting

Kata "citra" digunakan dalam tiga cara yang berhubungan. Dalam definisi ini, f : XY adalah fungsi dari himpunan X ke himpunan Y.

Citra unsurSunting

Jika x adalah anggota dari X , maka gambar x di bawah f , dilambangkan f(x) ,[1] adalah nilai dari f ketika diterapkan ke x. f(x) secara alternatif dikenal sebagai keluaran dari f untuk argumen x .

Citra subhimpunanSunting

Gambar dari subhimpunan A X di bawah f , dilambangkan  , adalah bagian dari Y yang dapat didefinisikan menggunakan notasi himpunan sebagai berikut:[2]

 

Jika tidak ada risiko kebingungan,   hanya ditulis sebagai  . Konvensi ini umum; makna yang dimaksudkan harus disimpulkan dari konteksnya. Ini membuat f[.] sebuah fungsi yang domain adalah kumpulan daya dari X (himpunan dari semua himpunan bagian dari X ), dan kodomain adalah kumpulan daya dari Y. Lihat § Notasi di bawah untuk lebih lanjut.

Notasi untuk gambar dan gambar terbalikSunting

Notasi tradisional yang digunakan di bagian sebelumnya bisa membingungkan. Sebuah alternatif[3] adalah memberikan nama eksplisit untuk citra dan pracitra sebagai fungsi antara himpunan daya:

Notasi panahSunting

  •   dengan  
  •   dengan  

Notasi bintangSunting

  •   dari  
  •   dari pada  

Istilah lainSunting

  • Notasi alternatif untuk f[A] digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah f "A.[4][5]
  • Beberapa teks merujuk ke gambar f sebagai kisaran f , tetapi penggunaan ini harus dihindari karena kata "range" juga biasa digunakan untuk mengartikan kodomain dari f .

ContohSunting

  1. f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d} didefinisikan oleh  
    Citra dari himpunan {2, 3} di bawah f adalah f({2, 3}) = {a, c}. Citra fungsi f adalah {a, c}. Pracitra dari a adalah f −1({a}) = {1, 2}. Pracitra dari {a, b} juga merupakan {1, 2}. Pracitra dari {b, d} merupakan himpunan kosong {}.
  2. f: RR didefinisikan oleh f(x) = x2.
    Citra dari {−2, 3} di bawah f merupakan f({−2, 3}) = {4, 9}, dan citra dari f adalah R+. Pracitra dari {4, 9} di bawah f adalah f −1({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Pracitra dari himpunan N = {nR | n < 0} di bawah f adalah himpunan kosong, karena bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat di himpunan real.
  3. f: R2R defined by f(x, y) = x2 + y2.
    Serat f −1({a}) adalah lingkaran konsentrik mengenai asal, asalnya itu sendiri, dan himpunan kosong, tergantung pada apakah masing-masing, a > 0, a = 0, or a < 0.
  4. Jika M adalah manifold dan π: TMM adalah kanonik proyeksi dari bundel tangen TM menjadi M , maka serat dari π adalah ruang tangen Tx(M) for xM. Ini juga merupakan contoh dari bundel serat.
  5. Kelompok hasil bagi adalah gambar homomorfik.

SifatSunting

Contoh kontra berdasarkan
f:→ℝ, xx2, menunjukkan
bahwa kesetaraan umumnya membutuhkan
tidak berlaku untuk beberapa undang-undang:
 
f(A1A2) ⊊ f(A1) ∩ f(A2)
 
f(f−1(B3)) ⊊ B3
 
f−1(f(A4)) ⊋ A4

UmumSunting

Untuk setiap fungsi   dan semua himpunan bagian   and  , sifat berikut ini berlaku:

Galeri Preimage
   
   
 
(sama jika  , misalnya   adalah surjektif)[6][7]
 
(sama jika   bersifat injektif)[6][7]
   
   
   
   
   
   [6]
 [8]  [8]
 [8]  [8]

Juga:

  •  

Beragam fungsiSunting

Untuk fungsi   and   dengan himpunan bagian   dan  , sifat berikut ini berlaku:

  •  
  •  

Beragam himpunan bagian dari ranah atau kodomainSunting

Untuk fungsi   dan himpunan bagian   and  , properti berikut ini berlaku:

Image Preimage
   
 [8][9]  
 [8][9]
(equal if   is injective[10])
 
 [8]
(equal if   is injective[10])
 [8]
 
(equal if   is injective)
 

Hasil yang menghubungkan citra dan pracitra dengan aljabar (Boole) irisan dan gabungan untuk setiap kumpulan subhimpunan, tidak hanya untuk pasang himpunan bagian:

  •  
  •  
  •  
  •  

(Di sini, S bisa jadi tak hingga, bahkan himpunan taktercacah.)

Dengan terhadap aljabar himpunan bagian yang dijelaskan di atas, fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi, sedangkan fungsi gambar hanya homomorfisme semikekisi (yaitu, tidak selalu mempertahankan persimpangan).

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-28. 
  2. ^ "5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2019-11-05. Diakses tanggal 2020-08-28. 
  3. ^ Blyth 2005, hlm. 5.
  4. ^ Jean E. Rubin (1967). Set Theory for the Mathematician . Holden-Day. hlm. xix. ASIN B0006BQH7S. 
  5. ^ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Diarsipkan 2018-02-07 di Wayback Machine., December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2
  6. ^ a b c See Halmos 1960, hlm. 39
  7. ^ a b See Munkres 2000, hlm. 19
  8. ^ a b c d e f g h See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
  9. ^ a b Kelley 1985, hlm. [//books.google.com/books?id=-goleb9Ov3oC&pg=PA85&dq=%22The+image+of+the+union+of+a+family+of+subsets+of+X+is+the+union+of+the+images%2C+but%2C+in+general%2C+the+image+of+the+intersection+is+not+the+intersection+of+the+images%22 85]
  10. ^ a b See Munkres 2000, hlm. 21

ReferensiSunting

Templat:PlanetMath attribution