Batas (topologi)

Dalam topologi dan matematika, batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan dari ruang topologis merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari dan dari luar . Lebih tepatnya, batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan bukan merupakan milik interior . Sebuah unsur dari batas disebut titik batas , dan istilah operasi batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan di antaranya , , dan .

Suatu himpunan (berwarna biru muda) dan batasnya (berwarna biru tua).

Definisi umumSunting

Ada beberapa definisi yang ekuivalen mengenai batas himpunan bagian   dari ruang topologis   yang dapat dilambangkan sebagai     atau cukup ditulis  :

  1. Batas himpunan merupakan ketertutupan   dikurangi interior  :
     
    dengan   menyatakan ketertutupan   di  , dan   menyatakan interior topologis   di  .
  2. Batas himpunan merupakan irisan ketertutupan   dengan ketertutupan komplemen:
     
  3. Batas himpunan merupakan himpunan titik   sehingga setiap lingkungan   memuat setidaknya satu titik   dan setidaknya satu titik yang bukan  :
     

Contoh-contohSunting

 
Batas komponen hiperbolik himpunan Mandelbrot.

Tinjau garis real   dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan   merupakan himpunan bagian rasional (yang interior topologi di   kosong). Maka

  •  
  •  
  •  
  •  

Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya. Kedua contoh tersebut dapat diperlihatkan bahwa untuk batas   dari subhimpunan  , memuat subhimpunan terbuka takkosong dari  . Dalam artian untuk interior   di   adalah subhimpunan terbuka takkosong. Akan tetapi, batas himpunan tertutup juga selalu mempunyai interior kosong.

Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang  ), batas dari   adalah kosong, dimana   bilangan irasional.

Batas himpunan merupakan gagasan topologis, dan batas himpunan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Sebagai contoh, diberikan topologi biasa pada  , maka batas cakram tertutup   merupakan lingkaran sekeliling cakram:  . Jika cakramnya dipandang sebagai himpunan di  dengan topologi biasa itu sendiri, yaitu  , maka batas cakramnya adalah cakram itu sendiri:  . Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang  ), maka batas cakramnya kosong.

Sifat-sifatSunting

Ketertutupan dari himpunan   sama dengan gabungan dari himpunan dengan batas himpunan  :

 
dengan   menyatakan ketertutupan   di  . Sebuah himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika memuat batas himpunan  , dan terbuka jika dan hanya jika melepas dari batas himpunan  . Batas himpunannya adalah tertutup,[1] yang diikuti dari rumus  . Notasi   merupakan perpotongan dari dua subhimpunan tertutup  

("Trikotomi") Diberikan suatu himpunan   maka setiap titik  , tepatnya, terletak di salah satu dari tiga himpunan, yaitu   dan  

 
Ketiga himpunan (yaitu   dan  ) adalah himpunan lepas berpasangan. Akibatnya, jika ketiga himpunan tersebut bukan himpunan kosong,[note 1] maka ketiga himpunan tersebut membentuk partisi dari  

Sebuah titik   merupakan titik batas himpunan jika dan hanya jika setiap tetangga   memuat setidaknya satu titik di himpunan dan yang bukan di himpunan. Batas interior himpunan yang juga merupakan batas dari ketertutupan himpunan memuat di batas himpunan.

 

Pengertian diagram Venn memperlihatkan kaitan antara titik himpunan bagian   yang berbeda dari  .   adalah himpunan titik limit dari  ,   adalah himpunan titik batas dari   luas dinaungi warna hijau merupakan himpunan titik interior dari  , luas dinaungi warna kuning merupakan himpunan titik pencil dari  , luas dinaungi warna hitam adalah himpunan kosong. Setiap titik   adalah titik interior maupun titik batas dan setiap titik   adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Demikian juga, setiap titik batas   adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Titik pencil selalu merupakan titik batas.


Batas dari sebuah batasSunting

Untuk suatu himpunan  ,  , dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas   tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika   baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup,   untuk suatu himpunan  . Demikian, operator batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.

Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (edisi ke-Third). Dover. hlm. 86. ISBN 0-486-66352-3. Corollary 4.15 For each subset     is closed. 

Bacaan lebih lanjutSunting


Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "note", tapi tidak ditemukan tag <references group="note"/> yang berkaitan