Limit barisan

urutan nol; nilai yang "cenderung" oleh istilah suatu urutan
(Dialihkan dari Barisan limit)

Dalam matematika, limit barisan adalah nilai kelompok dari sebuah urutan "cenderung", dan seringkali dilambangkan menggunakan (yaitu, ).[1][2] Jika terdapat sebuah limit, urutannya disebut konvergen.[3] Urutan yang tidak konvergen dikatakan berbeda.[4] Batas suatu urutan dikatakan sebagai gagasan dasar yang pada akhirnya menjadi sandaran seluruh analisis matematika.[2]

diagram segi enam dan segi lima yang dibatasi di luar lingkaran
Urutan yang diberikan oleh keliling sisi n biasa-poligon yang mengelilingi lingkaran satuan memiliki batas yang sama dengan keliling lingkaran, yaitu . Urutan yang sesuai untuk poligon tertulis memiliki batas yang sama.
n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Sebagai integer positif menjadi lebih besar dan lebih besar, nilainya menjadi dekat secara sewenang-wenang . Kami mengatakan bahwa "batas urutan sama ."

Limit dapat ditentukan di metrik atau ruang topologi, tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalam bilangan real.

SejarahSunting

Filsuf Yunani Zeno dari Elea terkenal karena merumuskan paradoks yang melibatkan proses-proses yang membatasi.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoxus, dan Archimedes mengembangkan metode kelelahan, yang menggunakan urutan perkiraan tak terbatas untuk menentukan luas atau volume. Archimedes berhasil menjumlahkan apa yang sekarang disebut deret geometrik.

Newton berurusan dengan deret dalam karyanya tentang Analysis with infinite series (ditulis pada tahun 1669, diedarkan dalam manuskrip, diterbitkan pada tahun 1711), Method of fluxions and infinite series (ditulis tahun 1671, diterbitkan dalam terjemahan bahasa Inggris tahun 1736, bahasa Latin asli diterbitkan lama kemudian) dan Tractatus de Quadratura Curvarum (ditulis tahun 1693, diterbitkan tahun 1704 sebagai Lampiran dari OpIn karya terakhir, Newton menganggap ekspansi binomial (x + o)n, yang kemudian dia linierisasi dengan mengambil nilai limit karena o cenderung  ke 0.

Pada abad ke-18, matematikawan seperti Euler berhasil menjumlahkan beberapa deret divergen dengan berhenti pada saat yang tepat; mereka tidak terlalu peduli apakah ada limit, asalkan bisa dihitung. Di akhir abad ini, Lagrange dalam Théorie des fonctions analytiques (1797) berpendapat bahwa kurangnya ketelitian menghalangi perkembangan lebih lanjut dalam kalkulus. Gauss dalam bukunya etude dari deret hipergeometrik (1813) untuk pertama kalinya diselidiki secara teliti di bawah kondisi dimana sebuah seri bertemu ke suatu limit.

Definisi modern dari sebuah limit (untuk suatu ε terdapat sebuah indeks N sehingga...) diberikan oleh Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, sedikit memperhatikan pada saat itu), dan oleh Karl Weierstrass pada tahun 1870an.

Bilangan realSunting

 
Plot urutan konvergen {an} ditampilkan dengan warna biru. Di sini, kita dapat melihat bahwa urutannya menyatu ke batas 0 saat n meningkat.

Dalam bilangan real, sebuah bilangan   adalah limit dari urutan  , jika angka dalam urutan menjadi lebih dekat dan lebih dekat ke   —dan tidak ke nomor lain.

ContohSunting

  • Jika   untuk nilai konstan c, maka  .[bukti 1][5]
  • Jika  , maka  .[bukti 2][5]
  • Jika   ketika   adalah genap, dan   ketika   adalah nilai ganjil, maka  . (Fakta bahwa   apabila   nilai tidak relevan.)
  • Diberikan suatu bilangan real, salah satunya dapat dengan mudah membangun sebuah barisan yang konvergen dengan bilangan tersebut dengan mengambil aproksimasi desimal. Misalnya urutannya   menyatu dengan  . Perhatikan bahwa representasi desimal   adalah limit dari urutan sebelumnya, yang ditentukan oleh
 .
  • Menemukan limit barisan tidak selalu jelas. Dua contohnya adalah   (limitnya adalah bilangan e) dan purata aritmetika–geometrik. Teorema apit sering kali berguna dalam pembentukan seperti limit.

Definisi formalSunting

Kita mengalihkan   nilai limit dari urutan   jika kondisi tersebut berlaku:

  • Untuk setiap bilangan real  , ada bilangan asli   sedemikian rupa, untuk setiap bilangan asli  , kita memiliki  .[6]

Dengan kata lain, untuk setiap ukuran ketertutupan  , suku barisan pada akhirnya mendekati ke limit. Barisan dari nilai   dikatakan konvergen atau cenderung ke limit  , ditulis   atau  .

Secara simbolis, hal tersebut merupakan:

  •  

Jika suatu barisan konvergen dengan suatu limit, maka itu adalah konvergen; jika tidak, itu adalah divergen. Sebuah barisan yang memiliki nol karena sebuah limit terkadang dikatakan barisan nol.

IlustrasiSunting

SifatSunting

Limit barisan berperilaku baik sehubungan dengan operasi aritmetika biasa. Jika   dan  , maka  ,   dan, jika bukan b maupun suatu   adalah nol,  .[5]

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika   maka  . Faktanya, setiap fungsi yang bernilai real f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan limit barisan (meskipun ini belum tentu benar saat menggunakan pengertian yang lebih umum tentang kontinuitas).

Beberapa sifat penting lainnya dari limit barisan real meliputi sebagai berikut (asalkan, dalam setiap persamaan di bawah, bahwa limit di sebelah kanan ada).

  • Barisan limit adalah tunggal.[5]
  •  [5]
  •  [5]
  •  [5]
  •   disediakan  [5]
  •  
  • Jika   untuk semua   lebih besar dari suatu  , maka  .
  • (Teorema apit) Jika   untuk semua  , dan  , maka  .
  • Jika sebuah urutan terbatas dan monotonik, maka barisannya konvergen.
  • Sebuah barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap barisan adalah konvergen.
  • Jika setiap subbarisan dari sebuah barisan memiliki barisan itu sendiri yang konvergen ke poin yang sama, maka barisan aslinya konvergen dengan poin tersebut.

Sifat ini banyak digunakan untuk membuktikan limit, tanpa perlu secara langsung menggunakan definisi formal yang rumit. Sebagai contoh. setelah terbukti bahwa  , menjadi mudah untuk memperlihatkan—menggunakan sifat di atas—bahwa   (asumsi bahwa  ).

Limit takhinggaSunting

Sebuah barisan   dikatakan cenderung ke takhingga, ditulis   atau  , jika untuk setiap K, terdapat sebuah N sehingga untuk setiap  ,  ; yaitu, suku barisan nantinya lebih besar daripada suatu K tetap.

Dengan cara yang serupa,   jika untuk setiap K, terdapat sebuah N sehingga untuk setiap  ,  . Jika sebuah barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, sebuah barisan divergen dbutuhkan untuk tidak cenderung ke positif atau negatif takhingga, dan barisan   menyediakan satunya seperti contoh.

Ruang metrikSunting

DefinisiSunting

Sebuah nilai titik   dari ruang metrik   adalah limit dari urutan   jika untuk nilai  , terdapat nilai   sedemikian rupa, untuk setiap nilai  ,  . Ini bertepatan dengan definisi yang diberikan untuk bilangan real ketika   dan  .

Sifat-sifatSunting

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika   maka  . Faktanya, fungsi f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan batas urutan.

Batasan urutan itu unik bila ada, karena titik berbeda dipisahkan oleh jarak positif, jadi untuk   kurang dari setengah jarak ini, istilah urutan tidak bisa berada dalam jarak   dari kedua poin tersebut.

Barisan CauchySunting

 
Plot urutan Cauchy (xn), ditampilkan dengan warna biru, seperti xn versus n. Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekat n meningkat. Dalam bilangan real setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.

Barisan Cauchy adalah barisan yang sukunya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang urutan Cauchy penting dalam studi urutan di ruang metrik, dan, khususnya, di analisis riil. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah Kriteria Cauchy untuk kekonvergenan barisan: barisan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah barisan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di ruang metrik lengkap.

Definisi dalam bilangan hiperrealSunting

Definisi batas menggunakan bilangan hiperreal menggunakan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, urutan yang nyata   cenderung L jika untuk setiap tak terbatas hipernatural H, syarat xH is sangat dekat dengan L (yaitu, perbedaan nilai xH − L adalah infinitesimal). Setara, L adalah bagian standar dari xH

 

Jadi, limitnya bisa ditentukan dengan rumus

 

di mana limit tersebut ada jika dan hanya jika ruas kanan tidak bergantung pada pemilihan dari sebuah takhingga H.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ "Ringkasan Simbol Matematika". Math Vault (dalam bahasa Inggris Amerika). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-18. 
  2. ^ a b Courant (1961), p. 29.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Barisan Konvergen". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-18. 
  4. ^ Courant (1961), p. 39.
  5. ^ a b c d e f g h "Batasan Urutan | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris Amerika). Diakses tanggal 2020-08-18. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Limit". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-18. 

BuktiSunting

  1. ^ Bukti: Pilih nilai  . Untuk setiap  ,  
  2. ^ Bukti: Pilih   + 1 (fungsi lantai). Untuk setiap  ,  .

ReferensiSunting

Tautan luarSunting