(ε, δ)-definisi limit

formalisasi gagasan batas


Dalam kalkulus, (εδ)-definisi limit ("epsilondelta definisi limit") adalah formalisasi dari pengertian limit. Konsep tersebut karena Augustin-Louis Cauchy, yang tidak pernah memberi nilai () definisi batas dalam Cours d'Analyse, tetapi kadang-kadang digunakan argumen dalam bukti. Ini pertama kali diberikan sebagai definisi formal oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817, dan pernyataan modern yang definitif akhirnya diberikan oleh Karl Weierstrass.[1][2] Hal tersebut memberikan ketelitian pada gagasan informal berikut: ekspresi dependen f(x) mendekati nilai L, sebagai variabel x mendekati nilai c, bila f(x) dapat dibuat sedekat yang diinginkan L, dengan mengambil nilai x cukup dekat dengan nilai c.

Kapanpun suatu titik x is within δ unit c, f(x) berada dalam ε unit L

SejarahSunting

Meskipun orang Yunani memeriksa proses pembatasan, seperti metode Babilonia, mereka mungkin tidak memiliki konsep yang mirip dengan modern limit.[3] Ketentuan konsep limit muncul pada tahun 1600-an, ketika Pierre de Fermat berusaha menemukan kemiringan dari garis tangen pada suatu titik   dari fungsi seperti  . Menggunakan kuantitas bukan nol tetapi hampir nol,  , Fermat melakukan perhitungan berikut:

 

Kunci dari perhitungan di atas adalah sejak   bukan nol, seseorang dapat membagi   dari  , tapi sejak   dekat dengan 0,   pada dasarnya  .[4] Kuantitas seperti   disebut infinitesimal. Masalah dengan kalkulasi ini adalah bahwa para matematikawan zaman itu tidak dapat secara tepat mendefinisikan kuantitas dengan sifat  [5], meskipun itu adalah praktik umum untuk 'mengabaikan' kekuatan tak terbatas yang lebih tinggi dan ini tampaknya membuahkan hasil yang benar.

Masalah ini muncul kembali kemudian pada tahun 1600-an di pusat perkembangan kalkulus, karena perhitungan seperti Fermat penting untuk perhitungan turunan. Isaac Newton kalkulus yang dikembangkan pertama kali melalui jumlah yang sangat kecil yang disebut fluks. Dia mengembangkannya dengan mengacu pada gagasan tentang "momen waktu yang sangat kecil..."[6] Namun, Newton kemudian menolak fluks demi teori rasio yang mendekati modern   definisi batas.[6] Selain itu, Newton menyadari bahwa batas rasio jumlah yang hilang adalah bukan rasio itu sendiri

ContohSunting

Contoh 1Sunting

Kami akan tunjukkan itu

 .

Kami membiarkan   be given. Kita perlu menemukan file   seperti yang   menyiratkan  .

Karena sinus dibatasi di atas 1 dan di bawahnya oleh −1,

 

Demikianlah jika kita ambil  , maka   menyiratkan  , yang melengkapi buktinya.

Contoh 2Sunting

Mari kita buktikan pernyataan itu

 

for any real number  .

mari   diberikan. Kami akan menemukan   seperti yang   menyiratkan  .

Kami mulai dengan memfaktorkan:

 

Kami menyadari itu   adalah istilah yang dibatasi oleh   jadi kita bisa mengandaikan batasan 1 dan kemudian memilih sesuatu yang lebih kecil dari itu  .[7]

Jadi kami kira  . Setelah   berlaku secara umum untuk bilangan real   dan  , kita memiliki

 

demikian,

 

Jadi melalui pertidaksamaan segitiga,

 

Jadi, jika kita menganggapnya lebih jauh

 

kemudian

 

Singkatnya, kami menetapkan

 

Jadi jika  , setelah itu

 

ReferensiSunting

  1. ^ Grabiner, Judith V. (Maret 1983), "Siapa yang Memberi Anda Epsilon? Cauchy dan Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2009-05-04, diakses tanggal 2009-05-01 
  2. ^ Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées   Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-05-04, diakses tanggal 2009-05-01, p. 44.  . Accessed 2009-05-01.
  3. ^ Stillwell, John (1989). Matematika dan Sejarahnya . New York: Springer-Verlag. hlm. 38–39. ISBN 978-1-4899-0007-4. 
  4. ^ Stillwell, John (1989). Matematika dan Sejarahnya . New York: Springer-Verlag. hlm. 104. ISBN 978-1-4899-0007-4. 
  5. ^ Stillwell, John (1989). Matematika dan Sejarahnya . New York: Springer-Verlag. hlm. 106. ISBN 978-1-4899-0007-4. 
  6. ^ a b Buckley, Benjamin Lee (2012). Perdebatan kontinuitas: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond dan Peirce tentang kontinuitas dan infinitesimal. hlm. 31. ISBN 9780983700487. 
  7. ^ Spivak, Michael (2008). Kalkulus  (edisi ke-4th). Houston, Tex.: Publish or Perish. hlm. 95. ISBN 978-0914098911.