Matriks uniter

Untuk matriks yang ortogoanal atas lapangan bilangan real, lihat matriks ortogonal.

Dalam aljabar linear, matriks persegi $\mathbf {U}$ dengan entri-entri berupa bilangan kompleks disebut uniter jika invers dirinya sama dengan transpos konjugatnya, $\mathbf {U} ^{*}$. Secara formal, matriks uniter adalah matriks yang memenuhi

$$\mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {I} ,$$

dengan $\mathbf {I}$ adalah matriks identitas. Dalam bidang fisika, khususnya mekanika kuantum, transpos konjugat dikenal sebagai adjoin Hermite dari suatu matriks dan disimbolkan dengan dagger (†), jadi persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai $\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =\mathbf {U} \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {I} .$ Versi analog dari matriks uniter pada lapangan bilangan real adalah matriks ortogonal. Matriks uniter memiliki peran penting dalam mekanika kuantum karena mereka tidak melestarikan (tidak mengubah) norma, dan akibatnya, juga melestarikan probability amplitudes.

Sifat

Matriks uniter dapat didefinisikan lewat banyak cara. Jika $\mathbf {U}$ adalah matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

• $\mathbf {U}$ adalah matriks uniter.
• $\mathbf {U} ^{*}$ adalah matriks uniter.
• $\mathbf {U}$ terbalikkan, dengan invers $\mathbf {U} ^{-1}=\mathbf {U} ^{*}$.
• Kolom-kolom dari $\mathbf {U}$ membentuk basis ortonormal dari $\mathbb {C} ^{n}$ terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, $\mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {I}$.
• Kolom-kolom dari $\mathbf {U}$ membentuk basis ortonormal dari $\mathbb {C} ^{n}$ terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, $\mathbf {UU} ^{*}=\mathbf {I}$.
• $\mathbf {U}$ adalah suatu isometri terhadap norma yang biasa. Dengan kata lain, $\|\mathbf {Ux} \|_{2}=\|\mathbf {x} \|_{2}$ untuk sembarang $\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}$, dengan ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$.
• $\mathbf {U}$ merupakan matriks normal (secara ekuivalen, ada suatu basis ortonormal yang dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari $\mathbf {U}$) dengan nilai-nilai eigennya terletak pada lingkaran satuan.

Selain itu, sifat-sifat berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks uniter $\mathbf {U}$ berukuran hingga:

• Untuk sembarang vektor kompleks $\mathbf {x}$ dan $\mathbf {y}$, perkalian dengan $\mathbf {U}$ akan mempertahankan hasil kali dalam kedua vektor tersebut; dengan kata lain, $\langle \mathbf {Ux} ,\mathbf {Uy} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$.
• $\mathbf {U}$ juga merupakan matriks normal, karena $\mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}$.
• Sebagai akibat dari teorema spektral, $\mathbf {U}$ dapat diagonalkan; dengan kata lain, $\mathbf {U}$ serupa secara uniter dengan suatu matriks diagonal.. Hal ini mengartikan $\mathbf {U}$ memiliki faktorisasi berbentuk $\mathbf {U=VDV} ^{*}$, dengan $\mathbf {V}$ berupa matriks uniter, dan $\mathbf {D}$ berupa matriks diagonal dan uniter.
• $\left|\det(\mathbf {U} )\right|=1$.
• Ruang eigen dari $\mathbf {U}$ bersifat ortogonal.
• $\mathbf {U}$ dapat ditulis sebagai $\mathbf {U} =e^{i\mathbf {H} }$, dengan $e$ menyatakan eksponensiasi matriks, $i$ adalah unit imajiner, dan $\mathbf {H}$ berupa matriks Hermite.

Untuk sembarang bilangan bulat nonnegatif $n$, himpunan semua matriks uniter berukuran $n\times n$ yang dilengkapi operasi perkalian matriks akan membentuk sebuah grup, yang dikenal sebagai grup uniter $U(n)$.

Konstruksi secara sederhana

Matriks uniter berukuran 2 × 2

Ekspresi umum dari suatu matriks uniter berukuran 2 × 2 adalah

$$\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1,$$

yang bergantung pada empat parameter real, yakni fasa dari $a$, fasa dari $b$, magnitudo relatif antara $a$ dan $b$, dan sudut and φ. Determinan dari matriks tersebut adalah

$$\det(\mathbf {U} )=e^{i\varphi }.$$

Grup dari matriks uniter $\mathbf {U}$ dengan $\det(\mathbf {U} )=1$ dikenal dengan grup uniter spesial (special unitary group) $SU(2)$.

Matriks $\mathbf {U}$ juga dapat dituliskan dalam bentuk alternatif berikut:

$$\mathbf {U} =e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},$$

yang, dengan memperkenalkan variabel $\varphi _{1}=\psi +\Delta$ dan $\varphi _{1}=\psi -\Delta$, akan memiliki faktorisasi berbentuk:

$$\mathbf {U} =e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.$$

Ekspresi tersebut memperjelas hubungan antara matriks uniter berukuran 2 × 2 dan matriks ortogonal dengan sudut θ. Bentuk faktorisasi lain adalah

$$\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end{bmatrix}}.$$

Matriks uniter juga memiliki beberapa faktorisasi matriks-matriks dasar.

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland. 

• Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• "Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1". Stack Exchange. March 28, 2016.